Environmental Engineering Reference
In-Depth Information
Wird das Gleichungssystem nach den Variblen x
1
, x
2
aufgelöst, so erhält man das
inverse Gleichungssystem. Die Koeffizientenmatrix wird als Kehrmatrix oder in-
verse Matrix zu
A
bezeichnet und durch
A
-1
symbolisiert. Der Vorgang wird Umkeh-
rung oder Inversion des Gleichungssystems genannt.
Zur Auflösung eines Gleichungssystems bestehend aus den Vektoren
x
,
b
und der
Ma
t
rix
A
, kann die inverse Matrix
A
-1
angewendet werden.
>@
>@
b
1
(1.40).
A
x
b
x
A
Wichtige Regeln für das Rechnen mit Matrizen:
1.
Sind
A
= [
a
ij
] und
B
= [
b
ij
] Matrizen der gleichen Ordnung, so ist die Summe
C
= [
c
ij
] =
A
+
B
(1.41).
Es wird komponentenweise addiert, z. B.
ª
2
0
º
ª
1
2
º
ª
3
2
º
¬
¼
¬
¼
¬
¼
,
3
1
0
1
3
0
die Matrizenaddition ist kommutativ und assoziativ.
2.
ist für die Matrizen
A
= [
a
ij
] und
B
= [
b
ij
] genau dann
definiert, wenn die Spaltenanzahl von
A
gleich der Zeilenanzahl von
B
ist. Die Kom-
ponenten werden berechnet nach der Vorschrift
Das Produkt
C
=
A
⋅ Β
ΒΒ
n
¦
c
a
b
(1.42),
ij
ik
kj
k
1
z. B.
ª
0
2
º
ª
1
2
0
º
ª
8
4
º
«
¬
»
¼
4
1
¬
¼
¬
¼
,
1
3
2
10
7
«
»
1
3
die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, jedoch assoziativ. Die Einheitsma-
trix ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation.
3. Die Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl k ist so definiert, dass jede
Komponente der Matrix mit k zu multiplizieren ist, z. B.
ª
3
2
º
ª
12
8
º
4
,
¬
¼
¬
¼
0
1
0
4
die Division einer Matrix durch k kann als Multiplikation mit dem Faktor 1/k aufge-
fasst werden. Bei einer Diagonalmatrix sind alle nichtdiagonalen Komponenten durch
Search WWH ::
Custom Search