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Die Anzahl der Zeilen und Spalten bestimmen den Typ der Matrix. Allgemein
wird der Typ einer Matrix gekennzeichnet, indem die Anzahl der Zeilen und Spalten
tief und in Klammern gesetzt werden.
A
(1.34)
Zeilenvektoren sind damit Matrizen vom Typ (1,n) und Spaltenvektoren sind Ma-
trizen vom Typ (m,1). Ist im Sonderfall die Anzahl m der Zeilen gleich der Anzahl
der Spalten n, liegt eine quadratische Matrix vor. Zu jeder quadratischen Matrix
A
existiert die zugehörige Determinante det
A
= |
A
|. Während die Matrix
(
a
)
(
m
,
n
)
ij
(
m
,
n
)
ª
a
b
º
1
1
A
¬
¼
(1.35)
a
b
2
2
das rechteckige Koeffizientenschema des linearen Gleichungssystems
a
x
b
y
c
1
1
1
(1.36)
a
x
b
y
c
2
2
2
darstellt, hat die zugehörige Determinante
a
b
1
1
det
A
=
(1.37)
a
b
2
2
. Jede Determinante drückt einen Zah-
lenwert aus, während eine Matrix eine Anordnung von Komponenten ist und keinen
Zahlenwert besitzt.
Vergleichbar zur Null und Eins im allgemeinen Zahlenbereich werden bei der
Matrizenmultiplikation die
Nullmatrix
und die
Einheitsmatrix
genutzt. Bei der Null-
matrix besitzen alle Komponenten der Matrix den Wert Null. Bei der Einheitsmatrix
haben die Komponenten der Hauptdiagonale den Wert 1 und alle anderen Kompo-
nenten den Wert 0. Die Null- und Einheitsmatrix werden zur Vereinfachung von
Matrizenoperationen verwendet.
Vertauscht man in einer gegebenen Matrix
A
die Zeilen gegen die entsprechenden
Spalten oder umgekehrt, so erhält man die transponierte Matrix
A
T
.
einen festen Zahlenwert aus
ab a b
12 21
ª
a
a
º
ª
a
a
º
11
12
11
21
A
T
A
¬
¼
⇒
(1.38)
¬
¼
a
a
a
a
21
22
12
22
Aus
A
(m,n)
erhält man die transponierte Matrix
A
T
(n,m)
und aus
a
(1,n)
den transponier-
ten Vektor
a
T
(n,1)
. Eine einzeilige Matrix ist die Transponierte einer einspaltigen Matrix
und umgekehrt. Die ungünstige Schreibweise des Spaltenvektors
a
kann man durch
den transponierten Zeilenvektor
a
T
ersetzen.
Die Komponenten der Matrix
A
nach Gl. 1.38 sollen die Koeffizienten des linea-
ren Gleichungssystems sein:
y
a
x
a
x
x
a
y
a
y
1
11
1
12
2
1
11
1
12
2
(1.39)
y
a
x
a
x
x
a
y
a
y
2
21
1
22
2
2
21
1
22
2
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