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1.3 Theorie der Finite Elemente Methode
1.3.1 Grundbegriffe der Matrizenrechnung
Die große Bedeutung der Matrizenrechnung liegt in ihrer Anwendbarkeit bei der
Lösung linearer Gleichungs- und Differenzialgleichungssysteme. Der Nutzen für
die Finite Elemente Methode besteht darin, dass große Datenmengen und Gleichungs-
systeme einfach geschrieben werden können und die Anwendung der Matrixalgebra
günstige Lösungsmöglichkeiten bietet.
Es werden 2 Schwerpunkte für eine nähere Betrachtung ausgewählt:
1. Vereinfachte Schreibweise mathematischer Ausdrücke durch Matrizen,
2. Lösung linearer Gleichungssysteme durch Matrizen.
Eine Matrix ist ein rechteckiges, nach m Zeilen und n Spalten geordnetes Schema
von m·n Komponenten. Als Symbole für Matrizen dienen die großen Frakturbuch-
staben bzw. die großen deutschen Buchstaben. Matrizen können auch durch fette
oder halbfette Buchstaben oder durch Unterstreichen großer Buchstaben symboli-
siert werden. Die Komponenten der Matrix sind durch runde bzw. eckige Klammern
oder durch senkrechte Doppelstriche eingeschlossen.
←
i-te Zeile
ª
a
a
...
a
º
11
12
1
«
»
a
a
...
a
>@
«
»
21
22
2
A
=
a
ij
«
»
...
...
...
...
(1.32)
«
»
a
a
...
a
¬
¼
m
m
mn
j-te Spalte
a
ij
ausgedrückt wer-
den. Die allgemeine Komponente repräsentiert dann alle m·n Komponenten. Durch
die doppelten Indizes ist die Stellung jeder einzelnen Komponente eindeutig festge-
legt.
Die Menge der Komponenten einer Zeile der Matrix bilden einen
Zeilenvektor
und die Menge der Komponenten einer Spalte einen
Spaltenvektor
. Zur Unterschei-
dung wird der Index des Zeilenvektors hoch und der Index des Spaltenvektors tief
gesetzt.
Eine Matrix kann auch durch die allgemeine Komponente
ª
a
º
1
j
«
»
a
2
j
>
@
a
a
i
a
,
a
,...,
a
(1.33)
«
»
j
...
i
1
i
2
in
«
»
a
¬
¼
mj
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