Einführung - Finite Elemente Modelle der Statik und Festigkeitslehre - page 41

Stoffgesetze zwischen Spannungen und Verschiebungen

1 1

H V QV , H QV V ,

xx xx yy yy xx yy

E E

(1.29),

2 1 Q Q

,

J W , H V V

xy xy zz xx yy

E E

umgestellt nach den Spannungen

E E E

V H QH , V QH H , W J

(1.30).

xy

xx xx yy yy xx yy xy

2 2

2 1 Q

1 Q 1 Q

Die Anwendung des ebenen Spannungszustand erfordert einen scheibenförmi-
gen Körper mit geringer Dicke, dessen Belastungen in seiner Ebene liegen. Die Deh-
nungen in z-Richtung können dann außer Betracht bleiben.
Der ebene Verzerrungszustand wird als 2-achsiger Belastungszustand aufgefasst,
bei dem die Belastungen in der entsprechenden Ebene vorliegen und die Verzerrun-
gen in einer Richtung verschwinden, z. B. bei einem Querschnitt in der x-y-Ebene
die Komponenten 0 .

Wird der Querschnitt in z-Richtung zu einem langen Körper gezogen, entsteht ein
3-dimensionaler Körper. Bei einem langen Körper dieser Art ist die Annahme des
Verschwindens der Verzerrung

ε zz = 0, γ xz = 0, γ yz =

ε zz in guter Näherung gültig.
Das Elastizitätsgesetz lässt sich ähnlich dem ebenen Spannungszustand definie-
ren. Im Unterschied tritt eine Spannung ε yy bestimmt

ist. Da die Verschiebungen nicht von z abhängen, werden auch alle auftretenden
Verzerrungen und Spannungen nur von x und y beeinflusst.
Damit lassen sich die Probleme mit ebenen Spannungszustand und ebenen Ver-
zerrungszustand vollkommen analog behandeln. Der einzige Unterschied zwischen
den Grundgleichungen besteht in den Konstanten, die in den Stoffgesetzen auftre-
ten. Die Bearbeitung aller Probleme kann über den Ansatz des ebenen Spannungs-
zustandes erfolgen.
Beim 1-dimensionalen Spannungszustand muss ein prismatischer Stab vorliegen,
bei dem die Belastung in Stabrichtung, z. B. in x-Richtung auftritt. Werden keine
Verschiebungen in y- und z-Richtung angenommen, wird die Dehnung

σ zz auf, die aber durch ε xx und

ε xx die einzi-

ge Verschiebungsgröße sein.
Unter den getroffenen Annahmen treten nur Normalspannungen in x-Richtung
auf, so dass

σ zz = 0 sind. Aus dem verallgemeinerten HOOKEschen Gesetz
ergibt sich deshalb

σ yy =

V E H

(1.31).

xx xx