Einführung - Finite Elemente Modelle der Statik und Festigkeitslehre - page 40

y

τ yx

τ xy

τ xy

γ xy

τ yx

γ xy

Abb. 1.44. Formänderungen durch
Schubspannungen

x

Den Zusammenhang zwischen den Winkeländerungen und der Schubspannung be-
schreibt das HOOKEsche Gesetz für Schub
τ xy = G · γ xy (1.26),

wobei G der Gleit- oder Schubmodul ist. Es lässt sich ein Zusammenhang zwischen
den 3 Materialkonstanten herstellen:

E = 2 · (1 + ν ) · G (1.27).

Beim verallgemeinerten HOOKEschen Gesetz für den 3-achsigen Spannungszu-
stand sind die 6 Spannungskomponenten

σ xx , σ yy , σ zz , τ xy , τ yz , τ zx und die 6 Verschie-

bungskomponenten zu berücksichtigen.
Die Verschiebungskomponenten

ε zz geben die Dehnungen in x-, y-, z-
Richtung wieder, während die Komponenten

ε xx , ε yy ,

γ xy , γ yz , γ zx die Verzerrungen in der x-

y-, y-z- und z-x-Ebene darstellen.
Zwischen den Spannungen und Verschiebungen gelten die Gesetzmäßigkeiten:

1 2 1 Q

H V QV QV , J W ,

xx x y z xy xy

E E

1 2 1 Q

H QV V QV , J W ,

yy x y z yz yz

E E

(1.28).

1 2 1 Q

H QV QV V , J W .

zz x y z xy zx

E E

Der zweiachsige Spannungszustand als ebener Spannungszustand gilt für den Fall,
dass Verschiebungen, Verzerrungen und Spannungen nur in einer Ebene, beispiels-
weise in der x-y-Ebene angenommen werden, d. h. es gilt
σ zz = 0 und τ yz = 0 .

Eine Dehnung in z-Richtung ist möglich, so dass

τ xz =

ε zz ≠ 0 wird.