Environmental Engineering Reference
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z
σ z
τ zx
τ zy
z
t
σ z
τ xz
τ yz
a)
τ zy
b)
σ x
σ y
y
τ xy
τ yx
dA
x
y
τ zx
x
Abb. 1.43. Spannungstensor, Normal- und Schubspannungen
σ z be-
zeichnet werden. Aus der Symmetrie der Gleichgewichtsbedingungen ergibt sich
Die Normalspannungen
σ xx ,
σ yy ,
σ zz können auch vereinfacht mit
σ x ,
σ y ,
τ xy =
τ yx ,
τ yz =
τ zy ,
τ zx =
τ xz
(1.23).
Das Materialverhalten wird durch ein Stoffgesetz beschrieben. Mit Hilfe von Ver-
suchen werden die Eigenschaften erfasst und daraus Gesetzmäßigkeiten abgeleitet.
Der gesuchte Zusammenhang zwischen Belastung und Verformung wird immer an
Probekörpern ermittelt.
Nachfolgend wird homogenes, isotropes Material zugrunde gelegt. Die Material-
eigenschaften sind also an allen Stellen gleich und unabhängig von der Richtung. Es
liegt außerdem lineares, elastisches Materialverhalten vor, d. h. die Spannung ist
unabhängig vom Deformationsablauf und von der Zeit.
Der 1-achsige Spannungszustand wird durch das HOOKEsche Gesetz
(1.24)
V E
H
beschrieben, wobei E der Elastizitätsmodul als Proportionalitätsfaktor zwischen
Spannung und Dehnung ist. Diesen Wert erhält man aus dem 1-achsigen Zugver-
such. Neben der Längsdehnung
ε
tritt eine Querdehnung mit der Querkontraktions-
zahl
ν
auf und es gilt
V
H
Q
H
Q
(1.25).
q
E
Obwohl die Spannung nur in einer Richtung, beispielsweise in der x-Richtung auf-
tritt, werden Dehnungen in allen 3 Richtungen wirksam.
In der x-y-Ebene können an einer Rechteckfläche die Formänderungen durch
Schubspannungen dargestellt werden. Liegt eine Beanspruchung durch die Schubs-
pannungen
τ xy =
τ yx vor, kommt es zur Verzerrung der Fläche unter einem Winkel
von
γ xy (Abb. 1.44.).
 
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