Environmental Engineering Reference
In-Depth Information
Für Randwertprobleme wird das Differenzenverfahren angewendet. Ersetzt man
in den Ansätzen den Differenzialquotienten durch den Differenzenquotienten, so
lässt sich das System der Differenzialgleichungen durch ein System linearer Glei-
chungen ersetzen.
Dabei wird der stetige Charakter des Tragwerks aufgehoben und der Zusammen-
hang zwischen Verschiebungs- und Belastungszustand an einer endlichen Zahl von
diskreten Punkten bestimmt.
Sind die Verschiebungen nach dem Lösen des linearen Gleichungssystems be-
kannt, so folgen daraus nach den Gesetzen der Technischen Mechanik weitere Er-
gebnisse, wie z. B. Schnittgrößen und Spannungen.
Randwertprobleme mit partiellen Differenzialgleichungen wie z. B. Platte und
Membran können ebenfalls mittels des Verfahrens der finiten Differenzen nume-
risch gelöst werden.
Beispiel Rec
h
tec
k
pla
t
te (Ab
b.
1.15.):
Eine Platte kann nur Belastungen senkrecht zur Oberfläche bzw. Momente am
Rand aufnehmen. Die Plattendicke t ist klein im Vergleich zur Plattenebene.
Aus den Gleichgewichtsbedingungen von Querkräften, Biegemomenten und Tor-
sionsmomenten ergibt sich die Differenzialgleichung
2
2
2
w
M
w
M
w
M
xy
y
x
2
p
2
2
w
x
w
y
w
x
w
y
Da die Platte innerlich statisch unbestimmt ist, müssen die Verformungen zur Lö-
sung einbezogen werden. Die Durchbiegung in z-Richtung ist w = w(x,y). Unter
Anwendung von Näherungsannahmen erhält man die Elastizitätsgesetze für die
Schnittgrößen Querkraft, Biege- und Torsionsmoment.
Zur bekannten Biegesteifigkeit E · I kann in Analogie eine Plattensteifigkeit
3
E
t
K
2
12
(
Q
)
bestimmt werden.
x
F
p
t
z
M
y
Abb. 1.15.
Definition der Platte
Search WWH ::
Custom Search