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1.1.5 Problemstellungen der Technischen Mechanik
Aufgaben der Physik oder Technik sind häufig durch eine Differentialgleichung
in Verbindung mit Rand- bzw. Anfangsbedingungen charakterisiert. Als typische
Aufgabenstellungen treten auf:
Anfangswertaufgaben: Dabei sind diejenigen Lösungen zu ermitteln, für die an
einer Stelle n Anfangsbedingungen für den Funktionswert und für seine Ableitun-
gen gegeben sind.
Als Beispiel ist die Differenzialgleichung der erzwungenen, gedämpften Schwin-
gung einer Punktmasse zu nennen:
x
x
x
d
c
1
y
t
y
t
y
t
F
t
mit den Anfangswerten zur Zeit t 0
m
m
m
x
0
y
t
y
und
y
t
v
0
0
0
Eigenwertaufgaben: Es handelt sich um homogene Randwertprobleme, die von
einem reellen Parameter l abhängen. Man interessiert sich dabei für die Fälle, in
denen die Aufgabenstellung nicht eindeutig lösbar ist, d. h. wenn neben der trivialen
Lösung noch weitere Lösungen existieren.
Als Beispiel ist die Differenzialgleichung der Stabknickung für E I = const geeig-
net:
F
IV
2
2
c
w
O
w
0
,
O
mit den Randbedingungen des Euler-Falls III
E
I
c
w
0
0
und
w
0
0
0
c
w
l
0
und
w
l
Randwertaufgaben: Dabei handelt es sich um Problemstellungen, bei denen die n
zusätzlichen Bedingungen als Randbedingungen für die Funktionswerte bzw. Ab-
leitungen gegeben sind.
Als Beispiel wird die Differenzialgleichung der Biegelinie angeführt,
s
q
c
mit den Randbedingungen für den Kragträger
E
I
w
c
w
0
0
und
w
0
0
0
c
c
w
l
0
und
w
l
Das Lösen der Differenzialgleichungen mittels analytischer Verfahren gelingt oft
nur für spezielle Geometrien und Randbedingungen. In den meisten Fällen, vor al-
lem bei komplizierten Geometrien sind geschlossene Lösungen kaum noch mög-
lich. Dann muss zu näherungsweisen Lösungsverfahren auf numerischer Grundlage
übergegangen werden.
 
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