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5.1.3 Berechnungen zur einachsigen Biegung
Es werden Balken mit prismatischem Querschnitt nach den Ansätzen der techni-
schen Mechanik berechnet. Die Lösungen können mit den Ergebnissen der FE-Be-
rechnungen in Abschnitt 5.2 verglichen werden.
Spannungen und Verformungen an 3 verschiedenen Querschnitten sind zu ermit-
teln (Abb. 5.5.). Länge, Belastung, Lagerung und Werkstoff stimmen bei den 3 Bal-
ken überein. Die Abmessungen der Profile wurden so gewählt, dass gleiche Quer-
schnittsflächen entstanden sind. Damit gibt es die Gemeinsamkeit der gleichen Maße
für die 3 Balken.
Die wesentlichen Unterschiede sind durch die unterschiedlichen Flächenträgheits-
bzw. Widerstandsmomente gegeben.
Daten : a)
Rundstab
F = 500 N
E
St
= 2,1 · 10
5
N/mm
2
I
x
= 3217 mm
4
nach Gl. 5.1
Lösung:
nach Abb. 5.5. wird
F
A
= F
B
= F/2 = 250 N
mit dem Biegemoment
M
bx
= F
A
· l/2 = 18750 Nmm
und dem Widerstandsmoment
W
b
= I
x
/ y = 402 mm
3
(y = 8 mm)
ergibt sich als Biegespannung
σ
bx
= 46,6 N/mm
2
(Gl. 5.8)
Durchbiegung unter der
f
m
= 0,052 mm (Gl. 5.12)
Kraftstelle
Daten : b) Rechteckstab F = 500 N
E
St
= 2,1 · 10
5
N/mm
2
I
x
= 6667 mm
4
nach Gl. 5.2
Lösung:
nach Abb. 5.5. wird
F
A
= F
B
= F/2 = 250 N
mit dem Biegemoment
M
bx
= F
A
· l/2 = 18750 Nmm
und dem Widerstandsmoment
W
b
= I
x
/ y = 667 mm
3
(y = 10 mm)
ergibt sich als Biegespannung
σ
bx
= 28,1 N/mm
2
(Gl. 5.8)
Durchbiegung unter der
f
m
= 0,025 mm (Gl. 5.12)
Kraftstelle
Der Vergleich der Durchbiegungen zeigt, dass der Rechteckstab etwa die doppelte
Steifigkeit aufweist. Die Biegespannungen in der Randfaser sind mit 28,1 N/mm
2
gegenüber 46,6 N/mm
2
entsprechend geringer.
75
F
F
F
75
75
15
150
10
5
150
150
F
B
F
A
F
B
F
B
F
A
F
A
Abb. 5.5.
Balken mit Rund-, Rechteck- und T-Profil bei Belastung durch eine mittige Kraft
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