Zugbeanspruchungen - Finite Elemente Modelle der Statik und Festigkeitslehre - page 119

Dehnungen liegen als Längs- und Querdehnungen vor, also in Richtung der Achse
des Stabes bzw. quer zur Achse (Abb. 3.6.). Längsdehnungen sind die technisch
interessanteren.
Längsdehnungen werden definiert als Verlängerung

Δ l zur Ursprungslänge l. Die

Dehnung ε ist gegeben durch das Verhältnis ε = Δ l / l 0 . Mit ε = σ z / E und σ z = F/A

folgt für die Verlängerung

F l

0

' l

(3.4).

E A

d und der ursprüngli-
chen Dicke d 0 hat nur geringe Bedeutung. In der Festigkeitslehre findet das Verhält-
nis von Querdehnung

Die Querdehnung ε q als Verhältnis der Dickenänderung Δ

ε q zu Längsdehnung ε Anwendung. Dieses Verhältnis wird als

Poisson-Zahl μ bezeichnet.

Die Poisson-Zahl lautet für: GG μ = 0,25,

Stahl μ = 0,30,

Gummi μ = 0,50.

Temperatureinfluss: Neben unmittelbaren Krafteinwirkungen entstehen Längen-
änderungen auch durch eine Veränderung der Werkstücktemperatur. Wird beispiels-
weise ein Stab erwärmt, dann steigt seine Temperatur, und als sichtbare Folge dieser
Beeinflussung kann eine Verlängerung des Stabes gemessen werden. Umgekehrt
ziehen sich Körper mit fallender Temperatur zusammen.
Infolge Behinderung der freien Beweglichkeit wird eine zusätzliche innere Kraft
erzeugt. Zu jeder Temperaturänderung

Δ T gehört eine ganz bestimmte Wärmedeh-

nung, die sich aus dem
linearen Ausdehnungskoeffizienten und der
Temperaturdifferenz

T
ergibt. Solange der erwärmte Stab sich ungehindert ausdehnen kann, treten keine
Spannungen auf. Hält man ihn aber in der gedehnten Stellung fest und kühlt ihn auf
die Ausgangstemperatur wieder ab, dann wird seine Zusammenziehung durch die
äußeren Maßnahmen wieder verhindert.
Es treten in diesem Fall Zugspannungen auf, die der Kraftdehnung entsprechen.
Man berechnet also die durch konstruktive Maßnahmen (feste Einspannung) ver-
hinderte Wärmedehnung und setzt sie der Spannungsdehnung gleich, um die auftre-
tenden Spannungen ermitteln zu können.
Eine Temperaturdifferenz
Δ

Δ

T = T 2 - T 1 (Temperatur nach und vor der Erwärmung)
führt zur Wärmedehnung
ε T =

α T ⋅ Δ T (3.5),

wobei im linearen Ausdehnungskoeffizienten α T die Werkstoffeigenschaft enthalten

ist. Mit

ε T = Δ l T / l 0 (3.6)

wird das Verhältnis von Verlängerung Δ l T zur Ausgangslänge l 0 dargestellt.