Impuls- und Energietransport in solarthermischen Systemen - Thermische Solarenergie: Grundlagen, Technologie, Anwendungen - page 311

∂ u i
∂x i

= 0 = ∂ u
∂x

+ ∂ v
∂y

+ ∂ w

∂ z ,

(5.69)

Und entsprechend ergibt sich für die Reynolds gemittelte Impulsgleichung:

µ ∂ u i
∂x j

ρ u j ∂ u i
∂x j

= − ∂p
∂x i

∂
∂x j

i u j

+ − ρ u .

(5.70)

In Gl. (5.70) ersc hein t der scheinbare oder virtuelle Reynoldssche Schubspannungs-
tensor

j

i

τ t u r = − ρ u u

, der deutlich vom molekularen Spannungstensor, der durch

∂ u i /∂x j ) gegeben ist, abweicht. Es ist wichtig festzustellen, dass der
zusätzliche Reynoldssche Spannungstensor nur in Bezug auf die zeitlich gemittelte Strö-
mung auftritt. Die Bewegungsgleichung für die instantanen Größen beinhaltet keinen zu-
sätzlichen Turbulenzterm.
Der Übergang von den zeitabhängigen Bewegungsgleichungen zu den Reynolds-Glei-
chungen macht die Problemstellung der Turbulenzmodellierung offensichtlich. Der „Preis“
der zeitlichen Mittelung ist die Einführung des unbekannten Reynoldsschen Spannungs-
tensors, der durch die nicht-linearen konvektiven Terme der Navier-Stokes-Gleichungen
entsteht. Die Hauptaufgabe der Lösung des Turbulenzproblems besteht darin, diesen Rey-
noldsschen Spannungstensor mit den zeitlich gemittelten Größen des Geschwindigkeits-
feldes mit Hilfe geeigneter Turbulenzmodelle zu verknüpfen.
Das Verfahren zur Lösung dieses unbekannten Schubspannungstensors beruht auf der
Nutzung von Bilanzgleichungen. Wie jede andere Transportgröße müssen diese einer all-
gemeinen Form genügen. Die Typen der Bilanzgleichungen, die oft auch als Transport-
gleichungen bezeichnet werden, sind die Basis nahezu aller neueren Schließungsansätze.
Den Ausgangspunkt für die Formulierung der Transportgleichungen ist die Ableitung der
Navier-Stokes-Gleichung für die Momentanwerte. Unter Befolgung einer strikten mathe-
matischen Ableitung lauten die Transportgleichungen für den Reynoldsschen Spannungs-
tensor (Rotta 1972 ):

τ ij µ ( ∂ u j /∂x i

= +

j
∂x k

j
∂x k

∂ v

i
∂x k

i
∂ x k

∂ v

∂
∂x k

∂ v

+ 2 ν ∂ v

i v j ) i v k j v k

v k ( v + v + v −

C P DS

(5.71)

j
∂x i

+ ∂ v

i
∂x j

p ∂ v

+ ∂
∂x k

∂
∂x k

+ p

i v j v k i v j i j )

v − ν v ( δ kj v + δ ki v = 0 .

ρ ρ

PSC D

Darin beschreibt C die konvektive Änderung und P die Turbulenzproduktion, die das Pro-
dukt des Reynoldsschen Spannungstensors mit den Geschwindigkeitsgradienten der zeit-
lich gemittelten Geschwindigkeit ist. DS repräsentiert die turbulente Dissipation, die im
Wesentlichen einen negativen Produktionsterm darstellt, PSC ist die Druck-Scher-Korre-