Impuls- und Energietransport in solarthermischen Systemen - Thermische Solarenergie: Grundlagen, Technologie, Anwendungen - page 301

peratur („mean fluid bulk temperature“) wird durch folgende asymptotische Formel für
x * > 0.0335 ausgedrückt (Bhatti 1985 ):

T w − T m

= 0 . 819048 exp ( − 2 λ 0 x

∗

(5.51)

) mit λ 0 = 2 . 70436442 .

T w − T e

Es sollte angemerkt werden, dass obwohl die lokale Temperatur T gleichzeitig eine Funk-
tion der radialen und axialen Koordinate ist, die mittlere Fluidtemperatur T m aber nur
von der axialen Koordinate abhängt (die dimensionslose Temperatur ( T w − T )/( T w − T m )
ist nur eine Funktion des Radius). Die Nusselt-Zahl einer voll eingelaufenen Strömung
ergibt sich zu:

N u = λ 0
2

= 3 . 6568 .

(5.52)

Für eingelaufene Strömungen und konstanter Wandtemperatur ist damit die Nusselt-Zahl
eine Konstante und unabhängig von der Prandtl-Zahl. Ist aber die Peclet-Zahl Pe kleiner
als 10, ist der Einfluss der axialen Wärmeleitung nicht vernachlässigbar und es ergibt sich
folgender asymptotischer Ausdruck (Michelsen und Villadsen 1974 ):

4 . 180654 − 0 . 18346 · P e für P e < 1 . 5

N u =

für P e > 5 . 0 .

(5.53)

3 . 656794 + 4 . 4870 /P e 2

Bei einem konstanten Wandwärmestrom ( q w = konst. ) kann die Temperaturverteilung in
Kreisrohren für nicht dissipative Systeme, ohne Energiequellen und axiale Wärmeleitung
ebenfalls analytisch abgeleitet werden: Es ergibt sich in diesem Fall:

(r/R) 2
11

T w − T r

R

3 − T w T m

q w d h

−

= 11
48

= 1
N u

λ
αd h

2

= 6 1 − ; λ =

T w T m

−

(5.54)

Die Nusselt Zahl für den Fall mit konstantem Wärmestrom ist ca. 20 % größer als die bei
konstanter Wandtemperatur. Die qualitative Form der mittleren Fluidtemperaturvertei-
lung für beide Randbedingungen als Funktion der axialen Koordinate x zeigt die Abb. 5.9 .
Bei der Randbedingung einer konvektiv beheizten/gekühlten Wand wird an angenom-
men, dass die Temperatur entlang des Kanals in axialer Richtung konstant ist aber ein
endlicher wandnormaler Wärmewiderstand existiert. Dieser thermische Widerstand kann
in einen externen konvektiven Wärmeübergangskoeffizienten α e eingebettet werden, der
in einer dimensionslosen Biot-Zahl seinen Ausdruck findet. Die Biot-Zahl Bi ist definiert
durch Bi = α e · d h /λ (s. hierzu auch Kap. 4.3.2.1). Die Biot-Zahl kann daher auch den Ein-
fluss des thermischen Wandwiderstands berücksichtigen. In diesem Fall ist die Biot-Zahl
umgekehrt proportional zum Gesamtwärmewiderstand R w , also Bi = 1/ R w . Der Gesamt-
wärmewiderstand ergibt sich aus R w = (λ · t w )/(λ w · d h ) + λ/( α e · d h ). Der Grenzfall einer kon-
stanten Wandtemperatur entspricht damit Bi → ∞ und der andere Grenzfall konstanter
Wandwärmestrom impliziert Bi = 0. Daher kann die Biot Zahl als Verhältnis des thermi-
schen Wandwiderstands zu dem des Fluids aufgefasst werden. Bei einem Konstanten α e