Impuls- und Energietransport in solarthermischen Systemen - Thermische Solarenergie: Grundlagen, Technologie, Anwendungen - page 290

Mit τ = µ∂ u /∂ y und einer weiteren Integration erhält man die Geschwindigkeitsverteilung.
Setzt man u ( y = H ) = u max ergibt sich:

H 2
2 µ

= pH 2
2 µL

= τ w H
2 µ

= − dp
dx

u max ,

(5.22)

in der ∆ p / L = − dp / dx der Druckverlust entlang des Kanals der Länge L ist. Für die dimen-
sionslose Geschwindigkeitsverteilung lautet das Resultat:

u
u max

= y
H

2 − y
H

,

(5.23)

das dem klassischen in Abb. 5.6 dargestellten parabolischen Hagen-Poiseuille Profil ent-
spricht.
Dasselbe Ergebnis erhält man für eine laminare voll eingelaufene Rohrströmung unter
Anwendung des analogen Formalismus ergibt sich dafür:

τ ( r )
τ w

= r
R

u ( r ) = p
4 µL

( R 2 − r 2 );

;

(5.24)

= pR 2
4 µL

u
u max

r
R

2

u max ;

= 1 −

,

wobei R in diesem Zusammenhang den Rohrradius darstellt. Der Faktor ½ erklärt sich
daraus, dass in einer Rohrströmung im Vergleich zur Plattenströmung das Verhältnis der
Kanalquerschnittsflächen, auf die der Druck wirkt, zweimal so groß ist wie die Oberfläche
an der die viskosen Kräfte wirken, um dem Druck zu kompensieren. Der Durchfluss V in
einer Rohrströmung errechnet sich zu:

= r = R = π pR 4

8 µL

V 2 πr u ( r ) dr . (5.25)

r

= 0

Es ist wichtig zu bemerken, dass die Abhängigkeiten V ~∆ p / L und V ~ R 4 auftreten. Für
den gleichen angelegten Druckgradienten führt eine Vergrößerung des Durchmessers
um 10 % zu einem Anstieg des Durchsatzes um 46 %. Sofern man eine mittlere Ge-
schwindigkeit u 0 unter Anwendung u 0 = V / A definiert, erhält man u 0 = ½ u max . Für inge-
nieurtechnische Zwecke ist der Druckverlust ein entscheidender Parameter. Nutzt man
V = u 0 · π · R 2 und für den Durchmesser D = 2 R , erhält man für den Druckverlust über
einen Kanallänge L :

= ρ

2 u 0 L

64
Re .

(5.26)

p

D