Impuls- und Energietransport in solarthermischen Systemen - Thermische Solarenergie: Grundlagen, Technologie, Anwendungen - page 289

Abb. 5.6 Schubspannung
und Geschwindigkeitsver-
teilung einer vollausgebil-
deten Kanalströmung in
einem ebenen Kanal oder
Rohr

Dies ist ein System nichtlinearer Differentialgleichungen elliptischen Typs. Eine einheit-
liche Lösung existiert nicht und es gibt wenige exakte Lösungen unter ziemlich einschrän-
kenden Randbedingungen. Glücklicherweise lassen sich die meisten laminaren Aus-
tauschprozesse erheblich vereinfachen. Bei großen Reynolds-Zahlen erfolgen nahezu alle
Austauschprozesse in einer dünnen Schicht, der sogenannten Grenzschicht. Die Grenz-
schichtvereinfachungen beschränken sich nicht auf Strömungen über feste Wände, ebenso
können freie Jets oder Nachläufe hinter einem Körper Grenzschichtcharakter aufweisen.

Kanal- oder Rohrströmung Zunächst betrachtet man eine stationäre, ebene und eine voll
entwickelte Strömung in einem Kanal wie es die Abb. 5.6 zeigt. In diesem Zusammenhang
bedeutet voll ausgebildet, dass sich die Geschwindigkeitskomponente u in x -Richtung nicht
ändert; damit ist ∂ u /∂ x = 0. Aus Kontinuitätsgründen ergibt sich ∂ v /∂ y = 0. Dies bedeutet
letztendlich, dass die v -Komponente der Geschwindigkeit konstant ist. Unter Ausschluss
einer Absaugung oder eines Einblasens über die Wand erhält man sofort, dass die Quer-
geschwindigkeit v = 0 ist. Damit verschwinden die konvektiven Terme in Gl. (5.18) auf
der linken Seite und in der Kräftebilanz verbleibt lediglich der Ausdruck ∂ p /∂ y = 0. Damit
hängt der Druck p nur von der Strömungsrichtung x ab und es ergibt sich:

µ d 2 u
dy 2

dp
dx

= dτ

dy .

(5.19)

=

Da u nur eine Funktion der wandnormalen Richtung y ist, kann die partielle Ableitung
∂ durch die einfache Ableitung d ersetzt werden. Vom Spannungstensor bleibt lediglich
τ = µ∂ u /∂ y übrig. Eine Integration führt wegen der Symmetrie, die τ( y = H ) = 0 erfordert,
unmittelbar auf einen linearen Zusammenhang für die Schubspannung. Man erhält:

= − dp

(5.20)

τ w

dx H.

Diese Gleichung verknüpft die Wandschubspannung mit dem Druckgradienten und es
ergibt sich in dimensionsloser Form der Zusammenhang:

τ ( y )
τ w

= 1 − y

H .

(5.21)