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• π-Theorem von Buckingham
In jedem technischen System treten Kräfte, Energie, Zeit und eine oder mehrere charakte-
ristische Längen auf. Es gibt also eine Anzahl von
n
verschiedene Größen
Q
k
, für die es einen
Zusammenhang
f
(
Q
1
,…,
Q
n
) = 0 gibt. Jede dieser Größen
Q
i
ist dimensionsbehaftet also ihre
physikalische Größe lässt sich in SI-Einheiten in Form von kg, m, s und Grad K darstellen.
Diese Basisgrößen
A
1
,…,
A
m
lassen sich nicht durch Potenzprodukte der übrigen darstellen.
Damit kann man jede der Größen
Q
i
als Potenzprodukt der Basisgrößen
A
i
ermitteln. Es er-
gibt sich die Frage: Wie viele dimensionslose Größen π der Form
π
Q
i
1
Q
i
2
Q
i
n
gibt es? Ein Vergleich der Exponenten der Basisgrößen ergibt ein homogenes, lineares Glei-
chungssystem von
m
Gleichungen für
n
unbekannte
i
1
,
i
2
bis
i
n
. Die Lösbarkeit des Glei-
chungssystems ist damit auf den Rang
r
einer Dimensionsmatrix zurückgeführt.
Das π-Theorem von Buckingham besagt nun: Wenn es
n
Größen
Q
1
, …,
Q
n
und zwi-
schen ihnen eine Relation besteht, dann gibt es genau (
n
−
r
) dimensionslose - Kennzah-
len, wobei
r
≤
m
≤
n
der Rang der Dimensionsmatrix ist. Es gibt dann auch eine Beziehung
f
(π
1
, π
2
…, π
n-r
) = 0, die das Problem löst. Dies ist eine relativ mathematische Betrachtung
der Ableitung von Ähnlichkeitsparametern und es stellt sich dem Anwender oft die Frage:
Wie sind die freien Unbekannten zu wählen, dass man sinnvolle π-Kennzahlen bekommt?
Es gibt hier keine Vorschrift und lediglich die Erfahrung hilft die physikalisch sinnvollen
Kenngrößen herauszufiltern.
=
·
·
. . .
·
• Verhältnisse aus Erhaltungsgleichungen
Bei der Verhältnisbildung auf Basis der Erhaltungsgleichungen handelt es sich um ein vom
Prinzip her heuristisches Verfahren. Den Ausgangspunkt bilden hierbei die jeweiligen Er-
haltungsgleichungen der betrachteten Fragestellung. Beispielsweise liefert die Impulser-
haltung Gl. (5.11) eine Kräftebilanz an einem Kontrollvolumen des Fluids.
Wie in der vektoriellen Schreibweise der Gl. (5.11) dargestellt, beschreiben die indivi-
duellen Terme den Anteil einer Kraft an der Bilanz. Diese differentielle Darstellung kann
durch charakteristische Größen der Strömung, der Geometrie und des Fluids ausgedrückt
werden, indem man die mittlere Strömungsgeschwindigkeit
u
0
, eine charakteristische Ab-
messung
l
und eine Referenztemperatur auswählt. Damit ergibt sich:
∼
u
0
l
ν
∂
2
u
∂x
2
∼
u
∂
u
∂x
∼
1
ρ
∂p
∂x
p
u
l
2
u
ndF
S
F
T
;
F
D
∼
;
F
R
∼
∼
ν
∼
g
,
(5.17)
ρ
·
l
in der
F
T
die Trägheitskraft,
F
D
die Druckkraft,
F
R
die Reibungskraft und
F
S
die Schwer-
kraft darstellen. Aus dem Verhältnis von Trägheitskraft zu Reibungskraft, also
F
T
/
F
R
, ergibt
sich damit die Reynolds-Zahl. Ein ähnliches Vorgehen kann auch für die Energieerhal-
tungsgleichung (Gl. (5.15)) durchgeführt werden. Die Tab.
5.2
zeigt eine Auswahl der mit
diesem Verfahren zu gewinnenden Kennzahlen (π-Größen).
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