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die Spannung und die Dehnung auf ein Fluidelement (Gl. (5.10)) in die Gl. (5.12) einge-
setzt werden, erhält man die vereinfachte Gleichung:
ρ
dU
dt
∇ ·
−→
= ∇ ·
(λ
∇
T )
−
p
u
+
µ
mit
2
+
2
+
2
∂
u
∂x
∂
v
∂y
∂
w
∂
z
=
2
(5.13)
2
+
2
+
2
−
2
3
∂
v
∂x
+
∂
u
∂y
∂
w
∂y
+
∂
v
∂
z
∂
u
∂
z
+
∂
w
∂x
∇ ·
−→
2
+
u
Darin ist Φ die Dissipationsfunktion. Der erste Term auf der rechten Seite beschreibt die
Nettorate der Wärmeleitung in einem Fluidelement pro Kontrollvolumen, der zweite die
reversible Arbeit, die am Kontrollvolumen verrichtet wird, und der letzte Term gibt die
Menge an, bei der viskose Kräfte irreversible Arbeit in Form viskoser Dissipation oder
viskoser Erwärmung am Kontrollvolumen verrichten.
Nimmt man ein inkompressibles Fluid an, bei dem für die Energie folgender Ansatz
dU
=
c
p
·
dT
gilt, so ergibt sich die Form der Energiegleichung zu:
ρc
p
dT
dt
= ∇
(λ
∇
T )
+
µ
mit
2
+
2
2
+
2
+
2
2
+
∂
u
∂x
∂
v
∂y
∂
w
∂
z
∂
v
∂x
+
∂
u
∂y
∂
w
∂y
+
∂
v
∂
z
∂
u
∂
z
+
∂
w
∂x
=
2
+
.
(5.14)
Wenn die thermische Leitfähigkeit λ konstant ist, vereinfacht sich die Gleichung weiter
und man erhält:
dT
dt
=
λ
ρc
p
µ
ρ
c
p
innere Reibung
∇
2
T
Wärmeleitung
+
.
Konvektion
(5.15)
Die Kontinuitätsgleichung, die Navier-Stokes Gleichungen und die Energieerhaltungsglei-
chung ergeben zusammen einen vollständigen Satz zur Beschreibung jeder Strömung in-
nerhalb eines betrachteten Kontrollvolumens. Aber sie bereiten auch im mathematischen
Sinne eine nahezu unüberbrückbare Schwierigkeit bei der Vielzahl simultan zu lösender
Gleichungen und der Gegenwart nichtlinearer Terme wie beispielsweise
u
∂
u
/∂
x
.
Wegen der Nichtlinearitäten ist das Superpositionsprinzip der technischen Mechanik
nicht anwendbar und daher können komplexe Strömungen nicht aus mehreren einfa-
chen Strömungen zusammengesetzt werden wie beispielsweise bei Potentialströmun-
gen (Truckenbrodt und Schlichting
2001
). Exakte Lösungen existieren für einige ein-
fache Fälle, in denen nichtlineare Effekte klein (Näherungslösungen) oder null sind.
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