Impuls- und Energietransport in solarthermischen Systemen - Thermische Solarenergie: Grundlagen, Technologie, Anwendungen - page 283

∂ 2 u
∂x 2

+ ∂ 2 u
∂y 2

+ ∂ 2 u
∂ z 2

∂ u
∂t

+ u ∂ u
∂x

+ v ∂ u
∂y

+ w ∂ u
∂ z

− ∂p
∂x

ρ = ρf x + µ ;

∂ 2 v
∂x 2

+ ∂ 2 v
∂y 2

+ ∂ 2 v
∂ z 2

∂ v
∂t

+ u ∂ v
∂x

+ v ∂ v
∂y

+ w ∂ v
∂ z

− ∂p
∂y

ρ = ρf y + µ ;

∂ 2 w
∂x 2

+ ∂ 2 w
∂y 2

+ ∂ 2 w
∂ z 2

(5.11)

∂ w
∂t

+ u ∂ w
∂x

+ v ∂ w
∂y

+ w ∂ w
∂ z

− ∂p
∂ z

ρ = ρf z + µ

−→

d

u
d t
Trägheitskraft

− 1
ρ

∇ 2 −→

oder = f p

Druckkraft

∇ + u

Reibungskraft

ν

Schwerkraft,
Auftrieb,
Kapillarkraft,
...........

in der ∇ 2 = ∇ · ∇ der Laplace Operator ist, der durch die Beziehung ∇ 2 = (∂ 2 /∂ x 2 + ∂ 2 /∂ y 2 + ∂ 2 /∂ z 2 )
gegeben ist.
Jedes fluiddynamische Problem, das die Bestimmung der Geschwindigkeit und der
Druckverteilung als Funktion der Raumkoordinaten und Zeit beinhaltet, erfordert die
simultane Lösung der Kontinuitätsgleichung und der Navier-Stokes-Gleichungen unter
Berücksichtigung der speziellen Anfangs- und Randbedingungen. Obwohl dieses Glei-
chungssystem in den meisten Fällen zu komplex für eine analytische Lösung ist, kann es in
vielen Fällen numerisch gelöst werden. Dennoch gibt es ein paar spezifische Fälle, in der
die Natur der Strömung dergestalt ist, dass sie erheblich vereinfacht und damit einer ana-
lytischen Lösung zugeführt werden kann.
Ein ähnliches Vorgehen kann bei der Ableitung der Energieerhaltungsgleichung an-
gewendet werden. Die Ableitung beinhaltet den ersten Hauptsatz der Thermodynamik,
der die thermische Energie mit der am System verrichteten Arbeit und der totalen inneren
Energie innerhalb des Kontrollvolumens verknüpft. Die vollständige Ableitung der Ener-
gieerhaltungsgleichung ist in den Textbüchern von (Keenan 1970 ; Van Wylen und Sonntag
1986 ) oder (Jischa 1982 ) ausführlich beschrieben. Die Energieerhaltungsgleichung lautet
damit:

ρ dU
dt

σ xx ∂ u
∂x

σ yy ∂ v
∂y

σ zz ∂ w
∂ z

∂ v
∂x

+ ∂ u
∂y

= ∇ · (λ ∇ T ) + + + + τ xy

∂ w
∂y

+ ∂ v
∂ z

∂ u
∂ z

+ ∂ w
∂x

+ τ y z + τ x z

(5.12)

in der λ die thermische Leitfähigkeit des Fluids, U die innere Energie und T die Tempera-
tur darstellt.
Die innere Energie U ist mit der Fluidenthalpie i in folgender Weise verbunden:
i = U + p / ρ . Der Operator d / dt beschreibt die totale Ableitung. Wenn die Beziehungen für