Passive Mechanismen in der Solarenergie - Thermische Solarenergie: Grundlagen, Technologie, Anwendungen - page 162

Jedes Molekül besitzt eine gewisse Wärmemenge W , die durch die Anzahl der Freiheits-
grade f seiner Bewegung gegeben ist, und sich dementsprechend zu

= 1
2

W · f · k B · T , (4.92)

berechnet. Darin ist f die Zahl der Freiheitsgrade - je nach Molekülart 3 der Translation
und 3 der Rotation, k B die Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur in Kelvin.
Der von der heißen zur kalten Seite transportierte Wärmestrom im Spalt ergibt sich dann
aus dem Produkt des Teilchenstroms und der in jedem Teilchen gespeicherten Wärme zu:

= − l
3

· ∂
∂x

· f
2

q ˙ v m · n · k B · T . (4.93)

Drückt man nun die mittlere kinetische Energie der Gasteilchen E kin , die durch E kin = m /2 · v m 2
gegeben ist, durch die Temperatur T des Gases aus, die durch E T = 3/2 · k B · T gegeben ist, so
erhält man die ideale Gasgleichung.

= 1
V

p = n · k B · T mit n ,

(4.94)

worin n die Teilchendichte (1/m 3 ) ist. Wenn sich also die Temperatur T ändert, aber der
Druck p konstant bleibt, muss sich nach dem allgemeinen Gasgesetz die Teilchendichte n
im entgegengesetzten Sinne ändern, so dass das Verhältnis T / V ∼ n · T konstant bleibt. Unter
Annahme der Gültigkeit des Gasgesetzes kann sich im Term für die Ableitung in Gl. (4.93)
nur die mittlere Geschwindigkeit ändern. Damit ergibt sich für den spezifischen Wärme-
strom folgende Beziehung:

= − l
6

T ∂ v m q ˙ · n · f · k B ·

∂x .

(4.95)

Die mittlere Geschwindigkeit hängt aber ebenfalls mit der Temperatur zusammen. Wie
bereits im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeit der Stöße untereinander (Gl. 4.87)
gezeigt, existiert in einem Gas eine Häufigkeitsverteilung der Geschwindigkeit, die mit
Hilfe der Maxwell-Boltzmann-Verteilung beschrieben wird. Die Verteilung F der Gasmo-
leküle mit der Geschwindigkeit v ist darin im eindimensionalen Fall durch

· v 2 m

− m

F ( v ) = · exp ,

(4.96)

2 · π · k B · T 2 · k B · T

gegeben, in der m die Teilchenmasse in kg ist. Definiert man die mittlere Geschwindigkeit
als Summe der einzelnen Geschwindigkeiten der Teilchen und dividiert durch deren Ge-
samtanzahl N , so ergibt sich für die mittlere Geschwindigkeit v m des Gasmolekülverbunds
folgende Gleichung:

= v →∞

i →∞

· k B

· T

= 1
N

8
π

v ·

F ( v ) d v = .

v m v i

(4.97)

m