Passive Mechanismen in der Solarenergie - Thermische Solarenergie: Grundlagen, Technologie, Anwendungen - page 161

Abb. 4.21 Schemaskizze
zur Ableitung der Gaswär-
meleitung in einem Spalt

Im Regelfall haben die Gasmoleküle nicht alle die gleiche Geschwindigkeit, vielmehr liegt
eine statistische Verteilung der Geschwindigkeiten in beiden Teilchensorten vor, die durch
die Boltzmann-Verteilung gegeben ist (Hänel 2004 ). Der Einfachheit halber soll nun ledig-
lich eine Teilchensorte betrachtet werden, die eine statistische Geschwindigkeitsverteilung
hat, und als Ergebnis erhält man für die mittlere freie Weglänge l folgenden Zusammen-
hang:

= v m ,1

· t

= √

1

l ·

n 1 .

(4.88)

z 11 · t σ ·

2

In einem ebenen gasgefüllten Spalt mit einer Temperaturdifferenz T 1 - T 2 > 0, der in der
Abb. 4.21 skizziert ist, erfolge ein Wärmetransport von der heißen zur kalten Seite. Hierzu
kann man sich an einer beliebigen Stelle x 1 im Spalt eine Zwischenebene mit der Dicke der
freien Weglänge l unterhalb und oberhalb der Ebene x 1 denken. Betrachtet man zunächst
die Anzahl der Teilchen, die über die Grenzflächen bei x 1 + l und x 1 − l tritt, so ergibt sich
ein Nettoteilchenfluss ∆ N :

l
6 ,

N = N ( x 1 − l ) + N ( x 1 + l ) = [ n ( x 1 − l ) − n ( x 1 + l )] · A ·

(4.89)

wobei A die Durchtrittsfläche ist.
Der Faktor 1/6 ergibt sich daraus, dass alle sich im Kontrollvolumen befindlichen Teil-
chen in die drei translatorischen Richtungen ( x , y und z ) wie auch die drei rotatorischen
Richtungen bewegen können. Der Grenzübergang von ∆ N zu dN liefert unter Nutzung
der Gl. (4.84) folgendes Ergebnis:

= l 2
3

l
6

· ∂n
∂x

· ∂n dN = − 2 · A · · l · A

∂x . (4.90)

Damit ist die Anzahl der Teilchen, die über das gedachte Kontrollvolumen ausgetauscht
werden, proportional zum Quadrat der mittleren freien Weglänge l und dem Gradienten
der Teilchendichte ∂ n /∂ x . Im Weiteren kann man einen Teilchenstrom in x -Richtung J x
definieren und unter Nutzung von l = v m · ∆ t ergibt sich (hier Annahme konst. mittlerer
Geschwindigkeit):

dN
A

l
3

∂n ( x , t )
∂x

J x = = − · v m

Diffusionskonstante

.

· dt

(4.91)