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Abb. 4.8
Auswertung des
Gaußschen Fehlerintegrals
Für
Bi
→∞ lautet der Grenzwert der Gl. (4.49):
x
2
·
√
O
=
erf
(
x
)
=
erf
.
(4.54)
a
·
t
Damit beträgt an der Oberfläche des Körpers die momentane Wärmestromdichte
˙
q
O
:
λ
·
ρ
·
c
p
λ
q
O
˙
=
√
(
T
A
−
T
O
)
=
√
(
T
A
−
T
O
)
.
(4.55)
π
·
a
·
t
π
·
t
Die innerhalb der Zeitspanne
t
über die Oberfläche abfließende Wärme
Q
O
erhält man
schließlich mit Hilfe der Integration der Gl. (4.45) vom Zeitpunkt
t
= 0 bis
t.
t
=
2
·
A
·
λ
·
t
Q
O
=
A
·
q
O
(
t
)
dt
˙
√
(
T
A
−
T
O
)
.
(4.56)
π
·
a
·
t
t
=
0
Mit der Wärmebilanzgleichung lässt sich die in der Zeit
t
abgeführte Wärme
Q
mit Hilfe
der Gl. (4.48) bestimmen.
(4.57)
worin
T
die mittlere Temperatur ist und
V
das Volumen des Körpers. Für die mittlere
Temperatur erhält man schließlich:
Q
=
V
·
ρ
·
c
p
·
(
T
A
−
T
),
√
2
·
A
·
λ
·
t
T
O
)
=
2
·
A
a
·
t
(4.58)
(
T
A
−
T
)
=
·
√
(
T
A
−
·
·
(
T
A
−
T
O
)
.
V
π
V
·
ρ
·
c
p
π
·
a
·
t
Das Verhältnis der Oberfläche
A
zum Volumen
V
beträgt bei einer Platte 1
/
δ (, wobei zu
beachten ist, dass δ die halbe Plattendicke ist), beim Kreiszylinder 4/δ und bei der Kugel
6/δ. Damit kann mit der aus Gl. (4.54) berechneten Oberflächentemperatur die mittlere
Temperatur des Körpers bestimmt werden. Die Gln. (4.54) und (4.58) gelten nur dann,
wenn die Biot-Zahl
Bi
sehr groß ist (
Bi
>> 1). Physikalisch bedeutet diese Annahme, dass
die Wärmeübergangszahl α gegen unendlich strebt (α→∞), also ein perfekter Wärme-
übergang vorliegt.
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