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Temperatur und Fourier-Zahl aus dem Diagramm abgelesen werden kann. Weitere Ergeb-
nisse für Zylinder, Kugel und andere Geometrien finden sich beispielsweise in (von Böckh
und Wetzel 2009).
Mit der mittleren Temperatur kann die in einer bestimmten Zeit zu- oder abgeführte
Wärme berechnet werden. Mit der Anfangs- und der mittleren Temperatur wird die Än-
derung des Wärmeinhaltes bestimmt. Diese ergibt sich zu:
−
¯
Q
=
m
·
c
p
·
(
T
A
T
) [
W
],
(4.48)
¯
worin
T
die dimensionsbehaftete mittlere Temperatur ist.
4.3.2.2 Spezielle Lösung der instationären Wärmeleitung für kurze Zeiten
Aus der Abb.
4.6
bzw. Abb.
4.7
erkennt man, dass bei kleinen Zeiten (z. B. der Zeit
t
=
t
1
in Abb.
4.6
) die Temperatur in der Plattenmitte von der Temperaturänderung am Rand
noch nicht betroffen ist. In Abb.
4.7
sieht man ebenfalls, dass bei Fourier-Zahlen, für die
Fo
≤ 0.01 ist, in der Körpermitte keine Änderung der Temperatur auftritt. Für diese kurzen
Zeiten gilt folgende spezielle Lösung der Differentialgl. (4.43):
2
)
·
exp (
x
+
)
2
·
[1
−
−
(4.49)
=
erf
(
x
)
+
exp (
x
Bi
erf
(
x
Bi
)],
worin
erf
das Gaußsche-Fehlerintegral ist,
x
ein dimensionsloser Wandabstand und
Bi
eine mit dem dimensionslosen Wandabstand gebildete Biot-Zahl darstellt.
x
und
Bi
sind
wie folgt definiert:
·
√
x
=
α
a
·
t
=
x
√
;
Bi
.
(4.50)
λ
2
a
·
t
Das Gaußsche Fehlerintegral ist durch folgende Funktion gegeben:
z
erf
(
x
)
=
√
−
x
2
·
exp
dx
,
(4.51)
π
x
=
0
das in der Regel numerisch gelöst wird. Die Abb.
4.8
zeigt die Auswertung des Gaußschen
Fehlerintegrals.
Bei kurzen Zeiten beträgt die Temperatur
T
m
in der Mitte des Körpers der Anfangs-
temperatur
T
A
. Die Temperatur
T
O
der Oberfläche erhält man bei
x
= 0. Sie beträgt in di-
mensionsloser Notation:
2
)
·
[1
−
O
=
exp (
Bi
erf
(
Bi
)]
.
(4.52)
Für
Bi
> 2 ergibt sich aus der Gl. (4.52) mit einem Fehler kleiner als 1 % folgende dimen-
sionslose Oberflächentemperatur Θ
O
.
1
O
=
√
Bi
.
(4.53)
π
·
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