Passive Mechanismen in der Solarenergie - Thermische Solarenergie: Grundlagen, Technologie, Anwendungen - page 142

Tab. 4.3 Typische Beispiele
der Größenordnung der
thermischen Diffusivität a
einiger Materialien

Stoff a (m 2 /s · 10 -6 )

Metalle 5-10

Glas 0.6-0.8

Stein, Keramik 0.5-1.5

Wasser 0.143

Organ. Flüssigkeiten 0.09-0.1

Luft 20 °C, 1bar 21.4

∂ 2 T
∂x 2

+ ∂ 2 T
∂y 2

+ ∂ 2 T
∂ z 2

∂T
∂t

= a · . (4.44)

Die Lösung für ein dreidimensionales Temperaturfeld ist bis auf einige Ausnahmen nur
numerisch bestimmbar. Sie können für ein eindimensionales Temperaturfeld auch nur bei
einfachen Geometrien angegeben werden; die Lösungen sind Fourier-Reihen. Für die ein-
dimensionale Platte lautet die allgemeine Lösung der Differentialgleichung:

∞

− C 3 · a · t

T ( x , t ) = [ C 1 cos ( B · x ) + C 2 sin ( B · x )] · exp .

(4.45)

n = 1

Für entsprechende Randbedingungen können die Konstanten B und C i bestimmt werden.
Falls die Wärmeübergangszahl außen unendlich groß ist (d. h., die äußere Wandtempera-
tur ist gleich der Temperatur des umgebenden Fluids), lautet die Lösung in Fall der un-
endlichen Platte:

∞ ∞

T ( x , t ) − T ∞

= 4
π

1
n

n · π · x

= 4
π

1
n

n · π · x

− n 2 π 2 at
4 2

− n 2 π 2 Fo
4 δ

· sin exp · sin exp ,

T A − T ∞ 2 · δ 2 · δ

n = 1 n = 1

(4.46)

worin n eine Reihe ungeradzahliger Werte mit n = 1, 3, 5, …, (2 n − 1) angibt. In der Gl. 4.46
beschreibt Fo die Fourier-Zahl. Die Fourier-Zahl ist eine dimensionslose Zeit. Sie be-
schreibt das Verhältnis des Wärmestromes zur zeitlichen Änderung des Wärmeinhaltes
eines Körpers.
Die Form einer Temperaturdifferenz bezogen auf die Anfangstemperaturdifferenz
( T A - T ∞ ) wird oft mit einer dimensionslosen Temperatur Θ abgekürzt, wobei für Θ gilt:
0 ≤ Θ ≤ 1. Oft wird auch eine Biot-Zahl verwendet, die vom Prinzip her eine dimensions-
lose Wärmeübergangszahl ist. Sie ist das Verhältnis der Wärmeübergangszahl außen
am Körper zu derjenigen im Körper. Hierbei sind die dimensionslose Temperatur Θ, die
Fourier-Zahl Fo und die Biot-Zahl Bi wie folgt definiert:

= T ( x , t ) −

T ∞

= a

t

= α

δ

· ·

; Fo ; Bi .

(4.47)

T A − T ∞ δ λ