Passive Mechanismen in der Solarenergie - Thermische Solarenergie: Grundlagen, Technologie, Anwendungen - page 141

spricht. Bei der Erstellung einer Wärmebilanz erkennt man sofort, dass die Fläche A im
ebenen Problem entfällt und man erhält für die Wärmebilanz zwischen einer Stelle x und
der Stelle x + dx folgende Gleichung:

q ( x )
aus der Schicht dx ausströmende
Wärme

q ( x d x ) − ˙ d x

Masse der Teilschicht dx

ρ c p ∂T / ∂t )

zeitl. Temperaturänderung

. ˙ + = · · · ( −

(4.41)

Abnahme der Speicherwärme pro Zeit
in der Teilschicht dx

Das für stationäre Probleme angewendete kinetische Gesetz nach Fourier (Gl. 4.8) darf
auf den instationären Fall für den Ansatz des örtlich momentanen Wärmestroms übertra-
gen werden. Man erhält damit unter Annahme einer lokal konstanten Wärmeleitfähigkeit
(λ≠λ( x )) an der Stelle x + dx folgenden Ausdruck:

λ ∂ 2 T q ( x ) + ∂

q ( x )
∂x

˙

λ ∂T
∂x

(4.42)

q ( x ˙ + dx ) = ˙ dx = − −

∂x 2 .

Ein Einsetzen der Gl. (4.42) in Gl. (4.41) liefert die eindimensionale Differentialgleichung
der instationären Wärmeübertragung, die oft als zweite Fouriersche Gleichung bezeichnet
wird.

· ∂ 2 T
∂x 2

· ∂ 2 T

∂T
∂t

= λ
ρ

= a

∂x 2 .

(4.43)

· c p

Der Ausdruck a = λ/( ρ · c p ) bezeichnet eine Stoffgrößenkombination, die in der Literatur
als Temperaturleitzahl, thermische Diffusivität oder thermischer Diffusionskoeffizient
bezeichnet wird. Die thermische Diffusivität hat die Einheit (m 2 /s) analog zur dynami-
schen Viskosität ν. Typische Größen der thermischen Diffusivität einiger Stoffe sind in
der Tab. 4.3 aufgeführt. Metalle und Gase besitzen die höchsten Temperaturleitfähigkei-
ten. Dieses bedeutet, dass der Temperaturausgleich in Metallen und Gasen in etwa gleich
schnell erfolgt. Flüssigkeiten und nicht metallische Stoffe verfügen über geringere Tempe-
raturleitfähigkeiten, der Temperaturausgleich läuft dadurch dort langsamer ab.
Aus der 2. Fourierschen Gleichung lassen sich unmittelbar folgende allgemeingültige
Aussagen ableiten.

• Für (∂ 2 T /∂ x 2 ) > 0 ergibt sich unmittelbar (∂ T /∂ t ) > 0. Mit anderen Worten in Bereichen
positiver Krümmung der Temperaturkurve erfolgt ein Anstieg der Temperatur.
• Ist (∂ 2 T /∂ x 2 ) < 0, so erhält man (∂ T /∂ t ) < 0. Eine negative Krümmung bedeutet einen
Abfall der Temperatur mit zunehmender Zeit.

Insgesamt kann man festhalten, dass der instationäre Einfluss auf eine Begradigung der
Temperaturverteilung hinwirkt, denn für t → ∝ muss der lineare Zusammenhang erreicht
werden. Die allgemeine dreidimensionale Form der 2. Fourier-Gleichung lautet