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Tab. 4.1
Mathematische Formen Laplace-Operator für verschiedene Koordinatensysteme
Ebene Wand
Kartesisch
Zylinder
Kugel
d
2
dx
2
d
2
dx
2
+
d
2
dy
2
+
d
2
d
z
2
d
2
dr
2
+
d
2
dz
2
d
2
dr
2
+
1
r
d
dr
+
1
r
d
dr
Der Laplace-Operator hat je nach Formulierung des geometrischen Problems eine andere
Form. Die entsprechenden Formen listet die Tab.
4.1
auf.
Behält man für die ebene Wand wie im vorangegangenen Fall die Ortskoordinate
r
bei,
so wird aus Gl. (4.24):
λ
d
2
T
dr
2
c
p
ρ
dT
dt
(4.25)
L
(
r
)
=
.
+
Oftmals wird auch eine Temperaturleitfähigkeit (oder Temperaturleitzahl)
a
eingeführt,
wobei
a
definiert ist als
a
= λ/(ρ ·
c
p
) und in (m
2
/s) angegeben ist. Damit schreibt sich
Gl. 4.25 wie folgt:
a
d
2
T
dr
2
+
L
(
r
)
c
p
ρ
=
dT
dt
.
(4.26)
Im stationären Fall (∂/∂
t
= 0) vereinfacht sich die Gl. (4.26) erheblich und man erhält:
d
2
T
dr
2
+
L
(
r
)
λ
(4.27)
=
0
.
Die allgemeine Lösung mit einer von
r
unabhängigen Leistungsdichte ist damit gegeben:
= −
L
2
λ
r
2
+
T
C
1
r
C
2
,
(4.28)
+
worin
C
1
und
C
2
Integrationskonstanten sind. Ihr Wert richtet sich nach der jeweiligen
Randbedingung, das heißt, ob zum Beispiel die Absorberstreifen ein- oder beidseitig an
ein Wärmeträgerrohr angrenzen. Bei einem nur einseitig an einem Wärmeträgerrohr be-
festigten Streifen und der maximalen Temperatur
T
1
(
r
1
= 0) am freien Ende, wie es die
Abb.
4.3
skizziert, erhält man für den Temperaturverlauf:
−
L
2
λ
r
2
.
T
(
r
)
=
T
1
·
(4.29)
Die Temperatur nimmt danach mit wachsendem
r
2
ab. Die mittlere Temperatur des Ab-
sorberstreifens lässt sich berechnen, wenn
r
2
die Übergangsstelle zum Wärmeträgerrohr ist
und
r
1
= 0 gesetzt wird:
r
=
r
2
T
(
r
)
dr
−
1
3
1
2
L
λ
r
2
.
r
=
r
1
=
0
→
¯
T
=
und mit
r
1
T
=
T
1
(4.30)
r
=
r
2
dr
r
=
r
1
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