Passive Mechanismen in der Solarenergie - Thermische Solarenergie: Grundlagen, Technologie, Anwendungen - page 136

Damit unterscheidet sich die mittlere Temperatur von der maximalen Temperatur am
freien Ende um ein Drittel (1/3) der Temperaturdifferenz zwischen beiden Grenzen des
Streifens ∆ T = T 2 - T 1 :

− 1

T T 1

3 T .

=

(4.31)

Im Falle eines Zylinders nimmt die stationäre Wärmeleitgleichung bei wieder angenom-
mener konstanter Wärmeleitfähigkeit λ = konst. und einer von der Koordinate r unabhän-
gigen Leistungsdichte L folgende Form an:

1
r

d
dr

r dT
dr

+ L
λ

= 0 .

(4.32)

Die erste Integration liefert folgenden Zusammenhang:

r dT
dr

= − L

2 λ r 2 +

C 1 ,

(4.33)

und die Lösung lautet:

T ( r ) = − L

4 λ r 2 +

C 1 · ln ( r ) + C 2 . (4.34)

Nimmt man als Beispiel einen Vollzylinder mit r 1 = 0 an, lautet die Randbedingung an
dieser Stelle

dT
dr

= 0 . (4.35)

r = r 1 = 0

T 1/2 sind die Temperaturen in Zylindermitte bzw. an der Oberfläche. Wegen der Randbe-
dingung in Gl. (4.35) ergibt sich C 1 = 0. Mit der Temperatur T 1 an der Stelle r 1 = 0 erhält
man die zweite Integrationskonstante und damit die Temperaturverteilung T ( r ):

1 − r 2
r 1

und T ( r ) = Lr 1
4 λ

+ L

4 λ r 1

C 2 = T 1 + T 1 .

(4.36)

Die Temperatur ändert sich auch hier mit r 2 .
Bei einem Hohlzylinder mit einem Innenradius r 1 ≠ 0 und einem Außenradius r 2 , sowie
der Annahme, dass die Innenseite adiabat (∂ T /∂ n = 0) sei, ergibt sich für die Innenseite
folgende Randbedingung:

dT
dr

(4.37)

= 0 .

r = r 1