Civil Engineering Reference
In-Depth Information
4.1 Lineare Dynamik
4.1.1 Berechnungsebenen
Unterraum
(gekoppeltes
DGL-System mit z.B. nur
noch
M
= 1000 FHG
q
i
)
Modale Ebene
(Entkopp-
lung der
M
FHG
q
i
, falls
˜
Globale Ebene
(gekoppel-
tes DGL-System mit z.B.
N
=10
6
FHG
u
i
)
D
Diagonalmatrix)
Mq
+
˜
˜
Dq
+
˜
Kq
=
˜
Mu
+
D u
+
Ku
=
P
m
i
q
i
+
d
i
q
i
+
k
i
q
i
=
p
i
P
Globale Matrizen:
M
: Massenmatrix
D
: Dampfungsmatrix
K
: Steifigkeitsmatrix
P
:
Generalisierte Großen:
m
i
=
Φ
Modale Matrizen:
˜
T
i
MΦ
i
d
i
=
Φ
M
=
ϕ
T
M
ϕ
˜
T
i
DΦ
i
k
i
=
Φ
T
D
=
ϕ
D
ϕ
˜
T
i
KΦ
i
K
=
ϕ
T
K
ϕ
˜
T
i
P
Lastvektor
T
p
i
=
Φ
P
=
ϕ
P
Losungsschema
1. Berechnung der
Eigenkreisfrequenzen
ω
i
und zugehorigen
Eigenvektoren
Φ
i
2. Ermittlung der
generalisierten Verschiebungen
:
a)
Zeitraum
:
q
i
=
q
i
(
t
)(exakteLosung, wenn
p
i
=
p
i
(
t
)stuckweise linear) bzw.
q
=
q
(
t
) (explizite Zeitintegration ezienter als implizite)
b)
Frequenzraum
:
q
i
=
q
i
(
f
) bzw.
q
=
q
(
f
) (Zerlegung der generalisierten Lasten
p
i
(
f
) bzw.
˜
P
(
f
) in Fourierreihe bei periodischer Belastung)
3.
Modale Superposition
:
i
q
i
Φ
i
M
u
=
ϕ
q
=
(4.1)
u
T
=[
u
1
,u
2
,...,u
N
]:
Globaler Verschiebungsvektor
T
=[
q
1
,q
2
,...,q
M
]:
q
Matrix aus generalisierten Verschiebungen (
M
≤
N
)
T
i
=[
u
1
,u
2
,...,u
i
N
]:
Φ
Eigenvektor
ϕ
=[
Φ
1
,
Φ
2
,...,
Φ
M
]: Matrix aus Eigenvektoren
Effektive Massen
m
eff
ij
=
m
i
Γ
ij
1
m
i
Φ
T
i
mit
Γ
ij
=
MT
j
(4.2)
Γ
ij
: Beteiligungsfaktoren (modale Beschleunigungen)
T
j
: Starrkorper-Beschleunigungsvektor (auf Eins normiert,
j
=1
,
2
,
3: Translationen,
j
=4
,
5
,
6: Rotationen um globales KOS)
Wahrend die generalisierte Masse
m
i
richtungsunabhangig ist, lasst sich aus den ef-
fektiven Massen
m
eff
ij
direkt ablesen, wie viel Masse bei Beanspruchung in
j
-
Richtung
angeregt wird.
