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4.1.2 Eigenfrequenzanalyse
Eigenwertproblem
T
und
K
=
K
T
):
DGL fur ungedampfte freie Schwingung (mit
M
=
M
Mu
+
Ku
=
0
(4.3)
Losungsansatz:
u
=
Φ
exp (i
ωt
) mit i =
√
−
1
(4.4)
Einsetzen in DGL liefert (reelles) Eigenwertproblem (im Allgemeinen gilt exp(i
ωt
)
=0):
mit
λ
=
ω
2
(
−
λ
M
+
K
)
Φ
=
0
(4.5)
Charakteristische Gleichung:
det(
K
−
λ
M
)=0
(4.6)
Nichttriviale Losungen:
λ
i
: Eigenwerte
ω
i
=
√
λ
i
: Eigenkreisfrequenzen
f
i
=
ω
i
2
π
: Eigenfrequenzen
Φ
i
: Eigenvektoren/Eigenmoden
Hinweis: Im allgemeinen Sprachgebrauch wird
ω
i
haufig als Eigenwert bezeichnet (streng
genommen nicht korrekt).
Orthogonalitat von Eigenvektoren
i
MΦ
j
=
0fur
i
=
j
m
i
fur
i
=
j
i
KΦ
j
=
0fur
i
=
j
k
i
fur
i
=
j
T
T
Φ
und
Φ
(4.7)
Anmerkung: Wird alternativ eine Massennormierung (statt Verschiebungsnormierung)
verwendet, so gilt
Φ
T
i
MΦ
i
= 1 und
Φ
T
i
KΦ
i
=
ω
i
.
Allgemeine Hinweise
•
Anzahl der Eigenvektoren muss so groß sein, dass die Summe der
effektiven Massen
mindestens 80
%
bis 90
%
der freien (d.h. nicht eingespannten) Masse betragt.
•
Maßnahme zur Ergebnisverbesserung: Anreicherung der (naturlichen) Eigenmoden
durch
Pseudomoden
(residual modes,
”
Restmoden“ bzw.
”
statische Eigenmoden“).
•
Bei symmetrischen Systemen (z.B. Kragarm mit
I
yy
=
I
zz
) treten
mehrfache Ei-
genfrequenzen
auf. Da die zugehorigen Eigenvektoren mehrdeutig (abhangig von
Rundungsungenauigkeiten) sind, sollten immer alle Moden verwendet werden.
•
Eigenfrequenzanalyse ist Voraussetzung fur (nachgeschaltete transiente/stationare)
Berechnungen im
Unterraum
und auf
modaler Ebene
, aber nicht erforderlich bei
direkter Integration des linearen DGL-Systems auf globaler Ebene.
