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3.3.2 Nichtlineare Stabilitatsanalyse
Der Begriff
”
nichtlineare Stabilitatsanalyse“ bezeichnet die sogenannte
Nachbeulanalyse
:
•
Das nichtlineare Verformungsverhalten wird mit
inkrementell-iterativen Losungs-
strategien
ermittelt.
•
Bei symmetrischen Systemen kann es passieren, dass Verzweigungspunkte uber-
rechnet werden, was sich im Auftreten
negativer Eigenwerte
außert. Um nicht auf
dem
instabilen Primarpfad
weiter zu rechnen, mussen numerische
Imperfektionen
(Storlasten oder geometrische Imperfektionen, z.B. Eigenformen aus vorgeschalteter
linearer Eigenwertberechnung) eingefuhrt werden.
•
Begleitend
zur inkrementellen Laststeigerung kann eine
Eigenwertanalyse
durch-
gefuhrt werden.
Begleitende Maßnahmen zur Bestimmung von singularen Punkten
•
Negative Eigenwerte der Steifigkeitsmatrix
Der Vorzeichenwechsel in mindestens einem Diagonalelement
D
i
der tangentialen
Steifigkeitsmatrix
K
T
zeigt an, dass ein Instabilitatspunkt durchlaufen wurde.
n
dof
T
det
K
T
=det(
L
DL
)=
D
i
(3.10)
i
=1
Tabelle 3.1: Aussagen uber die Art des Gleichgewichtszustandes
alle
D
i
>
0
det
K
T
>
0
K
T
positiv definit
stabiles GG
mind. 1
D
i
=0
det
K
T
=0
K
T
positiv semidefinit
indifferentes GG
mind. 1
D
i
<
0 t
K
T
<
0
K
T
negativ definit
labiles GG
-
Vorteil: kein zusatzlicher Berechnungsaufwand erforderlich
-
Nachteil: Art auftretender singularer Punkte nicht bekannt
•
Begleitende Eigenwertanalyse
Die Forderung det
K
T
=0lasst sich ebenfalls erfullen, wenn gilt:
[
K
0
+
λ
(
K
U
(
u
)+
K
σ
(
u
)
)
]
Φ
=
0
(3.11)
K
T
(
u
)
K
0
: Linearer Anteil
K
U
: Anfangsverschiebungsmatrix (Einfluss der aktuellen Verformung)
K
σ
: Geometrischer Anteil (Anfangsspannungsmatrix, Anderung der Steifigkeit
durch die Spannungen des aktuellen Verformungszustandes)
