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3.3 Stabilitatsanalyse
3.3.1 Lineare Stabilitatsanalyse
Ziel: Berechnung der
kritischen Last
(erster singularer Punkt) einschließlich der zugehori-
gen
Knick- bzw. Beulform
mit Hilfe der linearen Eigenwertanalyse.
•
Voraussetzungen:
- Linear elastisches
Verhalten bis zum Verzweigungspunkt
- Geometrisch lineares
Verhalten bis zum Verzweigungspunkt
- Gutartiges Versagen
(keine Imperfektionsanfalligkeit)
•
Haufig werden auch
hohere Beulformen
berechnet, um einen ersten Eindruck
vom Nachbeulverhalten zu erhalten. So sind
dicht benachbarte Eigenwerte ein
Indiz fur bosartiges Stabilitatsversagen
(
Imperfektionsanfalligkeit
).
•
Lasst sich die Last nach dem Verzweigen noch weiter steigern, spricht man von
gutartigem Stabilitatsversagen.
•
Eigenformen konnen als
Imperfektionen fur eine nachgeschaltete nichtlineare
Stabilitatsanalyse
verwendet werden, wobei man die niedrigen Moden starker
wichten sollte als die hoheren.
•
Die Geschwindigkeit des (iterativen) Gleichungslosers lasst sich steigern, wenn
vor der Eigenwertanalyse eine statische
Vorlast
(kleiner als kritische Last) auf-
gebracht wird.
Lineares Eigenwertproblem
(
K
0
+
λ
Δ
K
)
Φ
=
0
⇒
det
K
T
=0
(3.8)
K
T
λ
: Lastparameter (Eigenwert)
K
T
: Tangentiale Steifigkeitsmatrix
K
0
: Linearer Anteil (Steifigkeit der unverformten Struktur)
K
NL
=
λ
Δ
K
: Nichtlinearer Anteil
Φ
:
Eigenvektor
Kritische Last (lineare Beullast):
P
krit
=
P
+
λ
krit
Δ
P
(3.9)
P
: Konstante (Vor-)Last (obligatorisch bei z.B. Gravitationslast; auch optional
einsetzbar zur Konvergenzverbesserung bei dicht benachbarten Eigenwerten)
λ
Δ
P
: Variable Last
λ
krit
: osung des Eigenwertproblems (nichttrivial, falls
K
T
singular: det
K
T
=0)
Δ
P
: Lastverteilungsvektor (ublicherweise eine Kombination verschiedener Lasten
aus Einzelkraften, Momenten, Druck usw., deren Verhaltnis vorgegeben wird)
Der zu
λ
krit
gehorige Eigenvektor
Φ
beschreibt qualitativ die Knick- bzw. Beulform.
