Civil Engineering Reference
In-Depth Information
3.2 Klassifizierung singularer Punkte
Ein singularer Punkt liegt vor, wenn zu einem vorhandenen Gleichgewichtszustand
G
ein
infinitesimal
benachbarter Gleichgewichtszustand
N
mit gleichem Lastniveau existiert.
Mathematisches Kriterium fur singulare Punkte:
•
Aus der Linearisierung des Gleichgewichts
N
, λ
)=
G
(
u
G
+
δ
u
, λ
)=
G
(
u
G
, λ
)+
K
T
δ
u
=
0
G
(
u
(3.1)
folgt, dass die Steifigkeitsmatrix
K
T
singular (nicht mehr positiv definit) ist:
K
T
δ
u
=
0
(3.2)
•
Nichttriviale Losungen
δ
u
existieren fur det
K
T
=0.
•
Zweite Ableitung der potentiellen Energie verschwindet:
δ
2
Π = 0 (indifferentes
Gleichgewicht)
Spezielles Eigenwertproblem
(
K
T
− ω
i
1
)
Φ
i
=
0
(3.3)
Φ
i
: Eigenvektor
m
: Rangabfall der Steifigkeitsmatrix im singularen Punkt
ω
i
=0:
m
-facher Eigenwert
Mit
K
T
=
K
T
T
folgt:
T
i
K
T
=
0
Φ
(3.4)
Unterscheidung zwischen Durchschlags- und Verzweigungspunkten
Bei Variation der Verschiebungen und des Lastparameters muss das Gleichgewicht stets
erhalten bleiben:
G
(
u
+
δ
u
,λ
+
δλ
)=
G
(
u
,λ
)+
∂
G
(
u
,λ
)
∂
u
δ
u
+
∂
G
(
u
,λ
)
∂
λ
δλ
=
0
(3.5)
K
T
−
P
T
i
von links sowie mit
G
(
u
,λ
) = 0 und (3.4) ergibt sich fur den
singularen Punkt die Bedingung:
Nach Multiplikation mit
Φ
T
i
T
i
T
i
Φ
K
T
δ
u
− δλ
Φ
P
=0
→
δλ
Φ
P
=0
(3.6)
Dies ermoglicht eine Klassifizierung des singularen Punktes:
i
P
=
= 0 Durchschlagspunkt (
δλ
=0)
= 0 Verzweigungspunkt
T
Φ
(3.7)
