Herleitung der FEM - FEM-Formelsammlung Statik und Dynamik - page 23

Matrizenschreibweise:
•

Um zu kennzeichnen, dass es sich bei den in Gleichung (2.63) angegebenen Kirchhoff-
Spannungen τ um eine matrizielle Darstellung mit 1 × 6 Komponenten handelt, wur-
de der Unterstrich weggelassen.
• Die Große τ bezeichnet entweder den gesamten Tensor oder bei Bedarf wie in Glei-
chung (2.65) lediglich die Spannungsmatrix mit 3 × 3Komponenten.

• Analoge Schreibweise bei Materialtangente : Tensorschreibweise c mit 3 × 3 × 3 × 3

Komponenten, Matrizendarstellung c mit 6 × 6Komponenten.

Steifigkeits- und Massenmatrizen

Diskretisierung des in (2.39) angegebenen linearisierten Anteils der inneren Arbeit
Dg int · Δ u =

J grad u τ + c :grad u :grad η dv

1

B t

(2.65)

N gpkt
s =1 η

N ele N kno N kno

I G

τ s G Ks 1 + B

Is c s B Ks u K ω s

T T

Is

T

=

e =1 I =1 K =1

liefert Elementsteifigkeitsmatrizen:

N gpkt

N kno N kno

G

τ s G Ks 1 + B

Is c s B Ks ω s

T
Is

T

k T e =

(2.66)

s =1

I =1 K =1

1. Term:

” geometrischer“ Anteil (entfallt bei linearer Analyse)

” materieller“ Anteil (beinhaltet Materialtangente)
Assemblierung zur Gesamtsteifigkeitsmatrix:

2. Term:

N ele

e =1 k T e

K T = (2.67)

Diskretisierung der linearisierten außeren Arbeit (2.40)

N gpkt
s =1 η

N ele N kno N kno

T
I [ ρ 0 N Is N Ks ] u K ω s

Dg ext · Δ u = − ρ t u η dv = − (2.68)

B t

e =1 I =1 K =1

liefert Elementmassenmatrizen:

N gpkt

N kno N kno

m e = [ ρ 0 N Is N Ks ] ω s (2.69)

s =1

I =1 K =1

Assemblierung zur Gesamtmassenmatrix:

N ele

e =1 m e

M =

(2.70)

Welche Schritte zur Herleitung der FEM aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit (2.30)
erforderlich sind, hangt insbesondere von der Analyseart ab.