Herleitung der FEM - FEM-Formelsammlung Statik und Dynamik - page 22

Elimination der virtuellen Großen
Beim Prinzip der virtuellen Arbeit (2.33) und der zugehorigen Newton-Raphson-Methode

δu 1 ,δv 1 ,δw 1 ,δu 2 ,...,δw N ges = −g δu 1 ,...,δw N ges

kno

Dg · Δ u

kno ,u 1 ,v 1 ,w 1 ,u 2 ,...,w N ges kno

(2.58)
handelt es sich um eine skalare Gleichung .Umein Gleichungssystem zu erhalten, muss
ausgenutzt werden, dass g fur alle zulassigen virtuellen Verschiebungen η erfullt sein muss:
Ableitungen nach den virtuellen Knotenverschiebungen δu I , δv I und δw I verschwinden:
∂ ( Dg + g )

∂ ( δu I )

· Δ u ∂ ( Dg + g )

∂ ( δv I )

· Δ u ∂ ( Dg + g )

∂ ( δw I )

· Δ u

=0 fur I ∈ [1 ,...,N ges

kno ] (2.59)
Anordnung in Matrizenform fuhrt in der nichtlinearen Statik zu dem zu losenden globalen
Gleichungssystem K T Δ u = − R mit K T als tangentialer Gesamtsteifigkeitsmatrix und R
als dem Gesamtfehlkraftvektor.
Durch den Einbau von Randbedingungen ( statische Kondensation : Streichen der entspre-
chenden Zeilen und Spalten) geht der Vektor aller Knotenverschiebungen

=0 ∧ =0 ∧

T = u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 ... u N ges

kno

u

kno v N ges kno w N ges

(2.60)

uber in den Vektor der unbekannten Knotenverschiebungen (Freiheitsgrade), z.B.

fur v 1 = w 1 = w 2 = u 3 =0 .
(2.61)
Die Zuordnung zwischen lokalen und globalen Knotennummern erfolgt mit Hilfe von
Inzidenzmatrizen .

T = u 1 u 2 v 2 v 3 w 3 ... u N ges

u

kno v N ges kno w N ges kno

Fehlkraftvektoren

Diskretisierung und numerische Integration des in Gleichung (2.30) angegebenen Prinzips
der virtuellen Arbeit
g =

B t σ

:grad η dv − ρ t ( b − a ) η dv − t η da

B t ∂B t

(2.62)

N gpkt
s =1 η

M gpkt
s =1 η

N ele N kno N ele N kno

I B

τ s − ρ 0 N Is ( b s − a s ) ω s +

T T

Is

T
I [ −N Is t s ] ω s

=

e =1 I =1 e =1 I =1

liefert Elementfehlkraftvektoren:

N gpkt M gpkt

N kno N kno

− B

τ s + ρ 0 N Is ( b s − a s ) ω s +

T
Is

r e = [ N Is t s ] ω s (2.63)

I =1 s =1 I =1 s =1

Hinweis: Beim Oberflachenintegral werden andere Gaußpunkte und Wichtungsfaktoren ω s
als bei der Volumenintegration verwendet.
Zusammenbau zum globalen Residuenvektor:

N ele

e =1 r e

R =

(2.64)