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Lineare, quadratische und linear-quadratische Ansatzfunktionen
Ziel: Bereitstellung von Ansatzfunktionen fur
•
lineare 8-Knoten-Elemente,
•
quadratische 20-Knoten-Elemente,
•
linear-quadratische 12- oder 16-Knoten-Elemente.
Knoten
I
=1
,...,
8:
N
I
=
1
8
(1 +
ξ
I
ξ
)(1 +
η
I
η
)(1 +
ζ
I
ζ
)
ζ
I
mit
ξ
I
=
ξ
I
−
−
η
I
−
±
1
,η
I
=
±
1
,ζ
I
=
1
(2.50)
±
Knoten
I
=9
,...,
12 (quadratischer Ansatz in
ξ
-Richtung):
N
I
=
1
4
ξ
I
mit
ξ
I
=0
,η
I
=
±
1
,ζ
I
=
±
1
(2.51)
Knoten
I
=13
,...,
16 (quadratischer Ansatz in
η
-Richtung):
N
I
=
1
4
η
I
mit
ξ
I
=
±
1
,η
I
=0
,ζ
I
=
±
1
(2.52)
Knoten
I
=17
,...,
20 (quadratischer Ansatz in
ζ
-Richtung):
N
I
=
1
4
ζ
I
mit
ξ
I
=
±
1
,η
I
=
±
1
,ζ
I
= 0
(2.53)
mit
ξ
I
=
0 fur linearen Ansatz in
ξ
-Richtung
(1
− ξ
2
)(1+
η
I
η
)(1+
ζ
I
ζ
) ur quadratischen Ansatz in
ξ
-Richtung
(2.54)
η
I
=
0
fur linearen Ansatz in
η
-Richtung
(2.55)
η
2
)(1+
ζ
I
ζ
) ur quadratischen Ansatz in
η
-Richtung
(1 +
ξ
I
ξ
)(1
−
ζ
I
=
0 fur linearen Ansatz in
ζ
-Richtung
(1 +
ξ
I
ξ
)(1+
η
I
η
)(1
− ζ
2
) ur quadratischen Ansatz in
ζ
-Richtung
(2.56)
Gauß-Integration
Numerische Integration durch Auswertung an den Integrationspunkten (Gaußpunkten):
F
(
X,Y,Z
)
dV
=
F
(
x, y, z
)
J
(
x, y, z
)
dv
B
e,
0
B
e,t
=
F
(
ξ,η,ζ
)
det
J
(
ξ,η,ζ
)
J
(
ξ,η,ζ
)
dξ dη dζ
B
e,t
N
ξ
N
η
N
ζ
N
gpkt
F
(
ξ
i
,η
j
,ζ
k
)
det
J
(
ξ
i
,η
j
,ζ
k
)
J
(
ξ
i
,η
j
,ζ
k
)
F
s
J
−
s
d
et
J
s
α
s
=
ω
s
=konst.
(2.57)
Die Position der
N
gpkt
Gaußpunkte und die Werte der Wichtungsfaktoren
α
s
hangen von
der Ansatzordnung ab, z.B.
ξ
i
,η
j
,ζ
k
=
±
=
α
i
α
j
α
k
=
i
=1
j
=1
k
=1
s
=1
1
√
3
und
α
s
= 1 bei einem linearen Element, siehe
auch Abschnitt 5.2.1.
