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Linearisierung des Prinzips der virtuellen Arbeit
Linearisierter Anteil der inneren Arbeit (mit
c
:grad
u
=
F
[
|
C
:
F
grad
uF
]
F
T
T
):
Dg
int
·
Δ
u
=
J
grad
u
τ
+
c
:grad
u
:grad
η
dv
1
(2.39)
B
t
Linearisierter Anteil der außeren Arbeit (Annahme: konservative Last, d.h. Volumen-
krafte
b
und Oberflachenkrafte
t
seien zeitlich unveranderlich):
Dg
ext
·
Δ
u
=
−
ρ
t
u
η
dv
(2.40)
B
t
2.2.4 Raumdiskretisierung
Aufteilung der zu untersuchenden Struktur
B
in
N
ele
Volumenelemente (Einheitswurfel
im isoparametrischen Bildraum):
N
ele
e
=1
B
e
B
=
(2.41)
Ortsvektoren (der Referenzkonfiguration
B
e,
0
und Momentankonfiguration
B
e,t
:
⎡
⎣
⎤
⎦
⎡
⎣
⎤
⎦
X
I
Y
I
Z
I
x
I
y
I
z
I
N
kno
N
kno
N
kno
N
kno
X
e
=
N
I
X
I
=
N
I
,
x
e
=
N
I
x
I
=
N
I
(2.42)
I
=1
I
=1
I
=1
I
=1
Ansatzfunktionen (benotigt zur Interpolation der Knotenkoordinaten
X
I
und
x
I
, hier:
eines 8-Knoten-Volumenelementes):
N
I
=
1
8
(1 +
ξ
I
ξ
)(1 +
η
I
η
)(1 +
ζ
I
ζ
)fur
ξ
I
,η
I
,ζ
I
=
±
1
,I
=1
,...,N
kno
= 8 (2.43)
Reale und virtuelle Verschiebungen:
⎡
⎣
⎤
⎦
⎡
⎣
⎤
⎦
u
I
v
I
w
I
δu
I
δv
I
δw
I
N
kno
N
kno
N
kno
N
kno
u
e
=
N
I
u
I
=
N
I
,
η
e
=
N
I
η
I
=
N
I
(2.44)
I
=1
I
=1
I
=1
I
=1
Ableitungen der Ansatzfunktionen
N
I
:
⎡
⎣
⎤
⎦
⎡
⎣
⎤
⎦
∂N
I
∂ξ
∂N
I
∂η
∂N
I
∂ζ
∂N
I
∂x
∂N
I
∂y
∂N
I
∂z
=
J
−
T
G
I
=
(2.45)
Jacobi-Matrix (Ableitungen der globalen Koordinaten
x, y, z
nach den lokalen Koordina-
ten
ξ,η,ζ
):
⎡
⎣
⎤
⎦
∂x
∂ξ
∂x
∂η
∂x
∂ζ
∂y
∂ξ
∂y
∂η
∂y
∂ζ
J
=
(2.46)
∂z
∂η
∂z
∂ζ
∂z
∂ξ
