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2.2.3 Konsistente Linearisierung
Newton-Raphson-Verfahren
Ziel: Iterative Losung eines nichtlinearen Gleichungssystems der Form
R
(
u
)=
0
.
Taylorreihenentwicklung:
R
(
u
)=
R
(
u
)+
D
R
(
u
)
·
Δ
u
+
...
(2.31)
u
=
u
+Δ
u
:Losungsvektor des nichtlinearen Gleichungssystems
u
: Zuvor ermittelte Naherungslosung
Abbruch nach linearem Glied
D
R
(
u
)
·
Δ
u
mit
D
R
(
u
) = grad
R
=
d
d
x
=
d
d
u
=
K
T
(2.32)
R
=
I
−
P
: Fehlkraftvektor
I
:
Vektor der inneren Krafte
P
:
Vektor der außeren Krafte
u
k
(
i
,
j
: FHG)
k
)=
∂R
i
∂u
j
K
T
:
Tangentiale Steifigkeitsmatrix mit
K
T
,ij
(
u
Lineares Gleichungssystem:
k
)
k
)
K
T
(
u
·
Δ
u
=
−
R
(
u
(2.33)
Iterationsvorschrift (
k
= Iterationszahler):
k
+1
=
u
k
+Δ
u
u
(2.34)
Abbruchbedingungen:
•
Inkrement Δ
u
(Losung des LGS) hinreichend klein (Verschiebungskonvergenz)
•
Residuum
R
hinreichend klein (Kraftkonvergenz)
•
”
Energienorm“
R
·
Δ
u
hinreichend klein (kann auch entfallen)
Uberprufung der quadratischen Konvergenz (in der Nahe der Losung):
(
R
·
Δ
u
)
k
+1
(
R
·
Δ
u
)
k
2
(
R
·
Δ
u
)
k
+2
(
R
·
Δ
u
)
k
+1
≈
(2.35)
Beispiel
:Aus
zwei nichtlinearen Gleichungen
bestehendes Gleichungssystem
R
=
0
bzw.
(
R
1
,R
2
)=(0
,
0) mit den Unbekannten (Freiheitsgraden)
u
1
und
u
2
:
•
Losung
u
=(
u
1
, u
2
)lasst sich geometrisch als gemeinsamer
Schnittpunkt
der beiden
Flachen
R
1
=
R
1
(
u
1
,u
2
) und
R
2
=
R
2
(
u
1
,u
2
) mit
u
1
-
u
2
-Ebene interpretieren.
•
Zur iterativen Losung werden zunachst zwei
Tangentialebenen
an die durch die
Naherungslosung
u
k
=(
u
1
,u
2
)des
k
-ten Iterationsschrittes definierten Punkte
R
1
(
u
1
,u
2
) und
R
2
(
u
1
,u
2
) gelegt.
•
Schnittpunkt dieser beiden Ebenen mit der
u
1
-
u
2
-Ebene liefert die
verbesserte
Naherungslosung
u
k
+1
=(
u
k
+
1
,u
k
+
2
) (Startwert eines erneuten Iterationsschrittes).
