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2.2 Nichtlineare FEM
Die nichtlineare FEM basiert ublicherweise auf dem
Prinzip der virtuellen Arbeit
.Bei
der hier vorgestellten Herleitung wird die
Total Lagrange-Formulierung
benutzt, die im
Gegensatz zur
Updated Lagrange-Formulierung
ohne Zwischenkonfiguration auskommt.
2.2.1 Impulsbilanz
Der Impulserhaltungssatz wird auch als
kinetisches Kraftegleichgewicht
bezeichnet.
Globale Form (starke Form des Gleichgewichts):
d
dt
=
∂
B
t
t
da
+
B
t
v
ρ
t
dv
=
I
B
t
b
ρ
t
dv
(2.27)
=
f
I
: Impuls
f
: m orper angreifende Krafte
t
: Spannungen an der Oberflache
∂B
t
ρ
t
b
: Eingepragte Volumenkrafte
Lokale Form (starke Form des Gleichgewichts, Cauchy-Bewegungsgleichung):
ρ
t
a
= div
σ
+
ρ
t
b
(2.28)
Herleitung der lokalen aus der globalen Form:
•
Anwendung des Cauchy-Theorems
t
=
σ
n
•
Anwendung des Gaußschen Integralsatzes
B
t
div
σ
dv
=
∂B
t
σ
n
da
•
Anwendung der lokalen Massenbilanz (Kontinuitatsgleichung)
ρ
t
+
ρ
t
div
v
=0
2.2.2 Prinzip der virtuellen Arbeit
Schwache Form des Gleichgewichts:
g
=
−
div
σ η
dv −
ρ
t
(
b
−
a
)
η
dv
= 0
(2.29)
B
t
B
t
Herleitung der schwachen Form aus der starken Form des Gleichgewichts:
•
Multiplikation von (2.28) mit einer geometrisch zulassigen und stetig differenzier-
baren Testfunktion
η
(virtueller Verschiebungsvektor)
•
Integration uber das Volumen
Prinzip der virtuellen Arbeit:
g
=
t
η
da
ρ
t
(
b
−
a
)
η
dv
+
B
t
σ
:grad
η
dv
−
= 0
(2.30)
B
t
B
t
∂
g
int
g
ext
Herleitung aus der schwachen Form des Gleichgewichts:
•
Anwendung der Rechenregel Div(
A v
)=Div
A
T
T
v
+Grad
v
:
A
•
Anwendung des Gaußschen Integralsatzes (s.o.)
