Civil Engineering Reference
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Einsetzen der Ansatzfunktionen:
Π=
x
2
x
1
EA
2
u
T
Nn
dx
+
x
3
x
2
∂N
T
∂x
u
T
∂N
∂x
u
−
[
...
]
dx
+
S
1
u
1
−
Fu
3
=
EA
nl
2
(
u
1
+
u
2
)+
EA
nl
2
(
u
2
+
u
3
)+
S
1
u
1
−Fu
3
2
l
(
u
1
+
u
2
−
2
u
1
u
2
)
−
2
l
(
u
2
+
u
3
−
2
u
2
u
3
)
−
=
EA
nl
2
(
u
1
+2
u
2
+
u
3
)+
S
1
u
1
− Fu
3
2
l
(
u
1
+2
u
2
+
u
3
−
2
u
1
u
2
−
2
u
2
u
3
)
−
(2.19)
Variation:
δ
Π=
∂
Π
∂u
1
δu
1
+
∂
Π
∂u
2
δu
2
+
∂
Π
∂u
3
δu
3
= 0
(2.20)
Daraus folgt:
∂u
1
=
EA
∂
Π
nl
2
+
S
1
(
u
1
−
u
2
)
−
=0
l
∂u
2
=
EA
∂
Π
(
−u
1
+2
u
2
− u
3
)
− nl
=0
(2.21)
l
∂u
3
=
EA
∂
Π
nl
2
− F
(
−u
2
+
u
3
)
−
=0
l
Einbau der Randbedingung
u
1
= 0 liefert das globale Gleichungssystem.
2.1.4 Prinzip der virtuellen Arbeit
Innere und außere virtuelle Arbeiten sind gleich:
g
=
δW
i
−
δW
a
= 0
(2.22)
δW
i
=
Virtuelle innere Arbeit:
σ
(
x
)
δε
(
x
)
Adx
(2.23)
L
Virtuelle außere Arbeit:
δW
a
=
nδu
(
x
)
dx − S
1
δu
x
=0
+
Fδu
x
=2
l
(2.24)
L
Einsetzen der Ansatzfunktionen:
g
=
x
2
x
1
EAδu
T
∂N
∂x
u − nδu
T
N
dx
+
x
3
x
2
∂N
T
∂x
[
...
]
dx
+
S
1
δu
1
− Fδu
3
=
δu
T
x
2
x
1
u − δu
T
x
2
x
1
∂N
T
∂x
EA
∂N
∂x
(2.25)
dx
nN dx
+
...
K
1
Aus der Bedingung, dass
g
=0fur alle zulassigen virtuellen Verschiebungen gilt, folgt:
∂g
∂δu
1
=0
∂g
∂δu
2
=0
∂g
∂δu
3
= 0
∧
∧
(2.26)
Setzt man abschließend in das sich ergebende Gleichungssystem noch die Verschiebungs-
randbedingung ein, so erhalt man wieder das gesuchte globale Gleichungssystem.
