Civil Engineering Reference
In-Depth Information
7.2.3 Augmented Lagrange-Verfahren
Das Augmented Lagrange-Verfahren ist eine Erweiterung der Penalty-Methode, bei dem
die Losung durch eine zusatzliche Iterationsschleife (Zahler
i
) verbessert wird.
Allgemeiner Ansatz:
Π
A
k
=
A
k
λ
i
N
d
i
N
+
λ
T
dA
2
k
N
d
i
N
d
i
N
+
k
T
g
T
+
1
i
T
i
i
T
i
g
g
(7.20)
Variation:
δ
Π
A
k
=
A
k
λ
i
N
+
k
N
d
i
N
δd
i
N
+
λ
T
δ
g
T
dA
i
T
+
k
T
g
i
i
(7.21)
Die Großen
λ
i
und
i
T
sind im Gegensatz zu den (echten) Lagrangeschen Multiplikatoren
keine zusatzlichen Unbekannten und mussen daher nicht variiert werden.
Beispiel:
λ
u
1
u
1
+
u
2
−
u
1
2
+2
u
3
u
3
+
λ
i
d
0
−
u
2
+
u
3
+
1
2
k
d
0
−
u
2
+
u
3
2
Π
AL
=
EA
2
l
Fu
1
−
= min.
Π
AL
k
Π
0
(7.22)
Gleichungssystem (bis auf die rechte Seite identisch mit dem des Penalty-Verfahrens):
⎡
⎣
⎤
⎦
⎡
⎣
⎤
⎦
⎡
⎣
⎤
⎦
2
E
l
EA
l
−
0
u
1
u
2
u
3
F
kd
0
+
λ
i
−kd
0
− λ
i
EA
l
EA
l
−
+
k
−
k
=
(7.23)
2
E
l
+
k
0
−k
Als Ergebnis der ersten Iteration mit dem Startwert
λ
0
=0erhalt man die Penalty-
Losung (7.18).
Iterationsschema (
Uzawa-Algorithmus
):
λ
i
+1
=
λ
i
+
kd
i
mit
λ
0
= 0
(7.24)
Abbildung 7.5: Schematische Darstellung des Uzawa-Algorithmus
