Civil Engineering Reference
In-Depth Information
A
k
: Kontaktflache
k
N
: Penalty-Parameter fur Normalkontakt (Einheit:
N
/
m
3
)
d
N
: Kontaktbedingung fur Normalkontakt (Einheit: m)
k
T
: Penalty-Parameter fur Tangentialkontakt
g
T
: Kontaktbedingungen fur Tangentialkontakt (2 Schubkomponenten im 3D)
Beispiel:
2
l
u
1
+(
u
2
− u
1
)
2
+2
u
3
− Fu
1
Π
P
=
EA
+
1
2
k
(
d
0
− u
2
+
u
3
)
2
= min.
(7.16)
Π
0
Π
k
Gleichungssystem aus Ableitung nach den Unbekannten
u
i
(Penalty-Steifigkeit
k
in
N
/
m
):
⎡
⎣
⎤
⎦
⎡
⎣
⎤
⎦
⎡
⎣
⎤
⎦
2
E
l
EA
l
−
0
u
1
u
2
u
3
F
kd
0
−kd
0
−
EA
l
EA
l
+
k
−k
=
(7.17)
2
E
l
+
k
0
−k
Losung abhangig von
α
=
E
kl
:
⎡
⎣
⎤
⎦
(3+2
α
)
Fl
EA
+2
d
0
(1+2
α
)
Fl
1
5+2
α
u
=
EA
+4
d
0
(7.18)
Fl
EA
−
d
0
Kontaktkraft:
EAd
0
l
− F
2
5+2
α
F
k
=
kd
=
k
(
d
0
− u
2
+
u
3
)=
(7.19)
Nachteile:
•
Kontaktnebenbedingung
d
≥
0nurnaherungsweise erfullt, d.h. es treten
(geringe)
Durchdringungen
auf.
Sehr hohe Penalty-Steifigkeiten fuhren zu einem
schlecht konditionierten Glei-
chungssystem
und somit zu schlechter/keiner Konvergenz oder sogar zu falschen
Ergebnissen.
•
Kontaktkraft ergibt sich nicht direkt, sondern muss nachtraglich ermittelt werden.
•
Ergebnisse hangen von der Wahl des Penalty-Parameters ab. Diese Abhangigkeit
lasst sich zu Lasten der Konvergenzgeschwindigkeit mit dem
nichtlinearen Penalty-
Verfahren
verringern, bei dem die Federsteifigkeit mit der Durchdringung zunimmt.
•
Wahl eines geeigneten Penalty-Parameters ist abhangig von der Steifigkeit des zu
berechnenden Systems.
Vorteile:
•
Keine zusatzlichen Freiheitsgrade (Große des Gleichungssystems unverandert).
•
•
) liefert analytische Losung (7.12).
•
Bessere Konvergenz
als bei der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren.
Grenzfall einer unendlich steifen Feder (
k
→∞
