Civil Engineering Reference
In-Depth Information
A
k
: Kontaktflache
λ
N
: Lagrange-Multiplikator fur Normalkontakt (Einheit:
N
/
m
2
)
d
N
: Kontaktbedingung fur Normalkontakt (Einheit: m)
λ
T
: Lagrange-Multiplikator fur Tangentialkontakt (2 Schubkomponenten im 3D)
g
T
: Kontaktbedingungen fur Tangentialkontakt (2 Schubkomponenten im 3D)
Beispiel:
2
l
u
1
+(
u
2
− u
1
)
2
+2
u
3
− Fu
1
Π
LM
=
EA
+
λ
(
d
0
− u
2
+
u
3
)
= min.
(7.10)
Π
0
Π
LM
k
Gleichungssystem aus Ableitung nach den Unbekannten
u
i
und
λ
(Einheit: N):
⎡
⎣
⎤
⎦
⎡
⎣
⎤
⎦
⎡
⎣
⎤
⎦
2
E
l
EA
l
−
00
u
1
u
2
u
3
λ
F
0
0
−d
0
EA
l
EA
l
−
0
−
1
=
(7.11)
2
E
l
0
0
1
0
−
110
Losung:
⎡
⎣
⎤
⎦
3
Fl
EA
+2
d
0
Fl
EA
+4
d
0
Fl
EA
u
=
1
5
(7.12)
− d
0
2
EAd
0
l
− F
Nachteile:
•
Kontaktnebenbedingungen fuhren zu
zusatzlichen Freiheitsgraden
beim zu losenden
Gleichungssystem.
•
Nullen auf der Hauptdiagonalen
(Einschrankung bei der Wahl des Gleichungslosers)
•
Außer den bei geometrisch und/oder physikalisch nichtlinearen Systemen ublichen
Gleichgewichtsiterationen sind zusatzliche
Kontaktiterationen
erforderlich.
•
Die Struktur des Gleichungssystems andert sich mit jeder Aktualisierung des Kon-
taktstatus.
•
System kann
uberbestimmt
werden, sollten die im Kontakt befindlichen Punkte
noch
anderen Zwangsbedingungen
(Randbedingungen, Kopplungen, Starrkorper
etc.) unterworfen sein.
Bei Systemen mit sehr vielen Kontaktpunkten treten haufig Konvergenzprobleme in
Form von
Chattering
(Klappernder Kontakt: Abwechselndes Offnen und Schließen)
auf.
Vorteile:
•
Verschiebungen entsprechen
exakt
der analytischen Losung.
•
Kontaktkraft
F
k
=
λ
wird direkt aus dem Lagrangeschen Multiplikator berechnet.
•
