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7.2 Kontaktformulierungen
Ob Kontaktnebenbedingungen exakt oder nur naherungsweise erfullt werden, hangt von
der Wahl des
Kontaktpotentials
Π
k
ab. Anhand des hier behandelten Dreifreiheitsgrad-
modells werden drei verschiedene Kontaktformulierungen diskutiert.
Abbildung 7.2: Dreifreiheitsgradmodell
Energie des kontaktfreien Systems:
2
l
u
1
+(
u
2
− u
1
)
2
+2
u
3
− Fu
1
= min.
Π
0
=
EA
(7.4)
Ableitung nach den Unbekannten
u
1
,
u
2
und
u
3
verschwindet:
⎡
⎣
⎤
⎦
⎡
⎣
⎤
⎦
=
⎡
⎣
⎤
⎦
10
−
110
002
2
−
u
1
u
2
u
3
F
0
0
EA
l
(7.5)
Verschiebungsvektor:
⎡
⎣
⎤
⎦
=
Fl
EA
⎡
⎣
⎤
⎦
u
1
u
2
u
3
1
1
0
u
=
(7.6)
Einsetzen des Grenzfalls
u
2
=
d
0
liefert die Kraft
F
0
, die zum Kontakt der Stabe fuhrt:
F
0
=
d
0
EA
l
(7.7)
Erhalt man
F
0
<F
und somit einen negativen Wert fur den Abstand
d
=
d
0
−
u
2
+
u
3
,
so ist das Ergebnis wegen der Durchdringung als falsch zu verwerfen.
7.2.1 Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren
Allgemeiner Ansatz:
Π
L
k
=
A
k
(
λ
N
d
N
+
λ
T
g
T
)
dA
(7.8)
Variation:
δ
Π
L
k
=
A
k
(
δλ
N
d
N
+
λ
N
δd
N
+
δ
λ
T
g
T
+
λ
T
δ
g
T
)
dA
(7.9)
