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7Kontakt
7.1 Optimierungsproblem mit Nebenbedingung
Bei Kontakt handelt es sich um ein nichtlineares Problem, wie das folgende Beispiel einer
federgelagerten Punktmasse zeigt. Gesucht: Verschiebung
u
infolge Eigengewicht.
Abstand
d
=
h − u ≥
0
Kontaktkraft
F
k
≤
0
Potentialfunktion:
Π=
1
2
ku
2
− mgu
+
F
k
(
h − u
)
Π
k
Π
0
(b) Potentialfunktion
(a) System (Feder ist ungespannt fur
u
=0)
Abbildung 7.1: Kontakt als Ursache nichtlinearen Verhaltens
Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie:
δ
Π=
∂
Π
∂u
δu
+
∂
Π
⇒
∂F
k
δF
k
=0
Π = min.
(7.1)
Fur
d
= 0 verschwinden die Ableitungen nach den Unbekannten
u
und
F
k
:
∂
∂u
∂
Π
∂F
k
=
ku − mg − F
k
h
=
0
0
(7.2)
−
u
Fur
d>
0 gilt
δF
k
= 0 und
∂
Π
∂F
k
=0.
Losung:
u
=
h
fur
d
= 0 und
F
k
=
kh − mg ≤
0
(7.3)
mg
k
fur
d>
0 und
F
k
=0
Da erst
nachtraglich uberpruft
werden kann, ob der Kontakt offen oder geschlossen ist
bzw. ob die sogenannte
Kuhn-Tucker-Bedingung
,
d
0und
F
k
d
=0,erfullt
ist, muss
gegebenenfalls der zuvor angenommene Kontaktstatus korrigiert
und neu
gerechnet werden.
≥
0,
F
k
≤
Bei Systemen mit vielen Kontaktnebenbedingungen sind haufig mehrere Iterationen
erforderlich, bis der richtige Kontaktzustand ermittelt ist.
