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Freie Energie
Einsetzen von (6.51) in Rate der freien Energiefunktion:
˙
Ψ=
∂
Ψ
∂
b
:
2
l
+
L
v
(
b
1
e
=
∂
Ψ
∂
b
e
−
˙
e
e
e
:
b
e
b
)
b
(6.104)
Fließkriterium
Elastisches Gebiet:
=
τ
∈
R
|
Φ(
τ
)
≤
0
6
E
τ
(6.105)
Fließbedingung (ideale von Mises-Plastizitat):
2
3
σ
y
≤
Φ(
τ
)=
τ
iso
−
0
(6.106)
Normale:
n
=
∂
Φ
∂
=
∂
τ
iso
∂
(6.107)
τ
τ
Positive interne Dissipation
Prinzip der positiven Dissipation (Clausius-Planck-Ungleichung)):
˙
Ψ=
e
:
l
+2
∂
Ψ
∂
b
e
:
e
−
1
τ
−
2
∂
Ψ
∂
b
1
2
L
v
(
b
e
)
b
p
=
τ
:
l
−
D
b
b
−
≥
0
(6.108)
e
e
Hyperelastische Spannungsgleichung (aus 1. Term):
τ
=2
∂
Ψ
∂
b
e
e
b
(6.109)
Reduzierte Dissipationsungleichung (aus 2. Term):
p
D
=
τ
:
f
≥
0
(6.110)
Thermodynamischer Flussvektor:
1
2
L
v
(
b
e
−
1
e
f
=
−
)
b
(6.111)
Maximale interne Dissipation
Lagrange-Funktional (Optimierungsproblem mit Nebenbedingung):
p
(
p
(
L
τ
,λ
)=
−D
τ
,
f
)+
λ
Φ(
τ
)
→
stat
.
(6.112)
Fließregel (aus
∂
L
p
∂
τ
=
0
):
f
=
λ
∂
Φ
∂
τ
(6.113)
Be- und Entlastungsbedingungen in Kuhn-Tucker-Form (aus
∂
L
p
∂λ
=0):
Φ(
τ
)
≤
0
, λ
≥
0
, λ
Φ(
τ
) = 0
(6.114)
