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Ogden-Material
Potential (Potenzreihenentwicklung der Hauptstreckungen):
P
3
μ
p
α
p
(
λ
α
p
W
=
−
1)
(6.49)
i
p
=1
i
=1
Nebenbedingung:
μ
p
α
p
>
0,
p
=1
,...,P
(Materialparameter:
μ
p
und
α
p
)
Kirchhoff-Spannungen:
τ
iso
=dev
3
P
mit
β
i
=2
∂W
∂λ
i
λ
i
=
μ
p
λ
α
p
i
β
i
m
i
, i
=1
,
2
,
3
(6.50)
i
=1
p
=1
Spezialfalle:
P
= 1 und
α
1
= 2: Neo-Hooke-Material (
μ
=
μ
1
).
P
=2,
α
1
= 2 und
α
2
=
−
2: Mooney-Rivlin-Material (
C
10
=
μ
2
und
C
01
=
−
μ
2
2
).
Logarithmisches Materialgesetz
Einen Sonderfall unter den hyperelastischen Modellen nimmt das logarithmische Material-
gesetz
3
W
(
b
)=
μ
4
ln
2
λ
2
i
(6.51)
i
=1
ein, da eine Beschreibung hyperelastischen Deformationsverhaltens nicht im Vordergrund
steht. Der Vorteil dieses Ansatzes liegt vielmehr in dem besonders ezienten numerischen
Verhalten im Zusammenhang mit dem in Abschnitt 6.7.3 vorgestellten elastoplastischen
Materialmodell. Stichwort: Exponentielle Zeitintegration der Fließregel.
Isochorer logarithmischer Kirchhoff-Spannungstensor:
3
ln
λ
i
m
i
log
iso
=
μ
τ
(6.52)
i
=1
μ
: Schubmodul
Die Kirchhoff-Spannungen erhalten den Index
”
log“, um zu betonen, dass das logarithmi-
sche Materialgesetz ausschließlich in Kombination mit Plastizitat angewandt wird.
6.3.4 Einaxialer Zugversuch
Gesucht: Kraft
F
als Funktion der Streckung
λ
=
l/l
0
Annahmen:
•
Zug in 1-Richtung
•
Exakte Inkompressibilitat
:
J
= 1 bzw.
σ
11
=
τ
11
(Cauchy-Spannungen sind gleich
den Kirchhoff-Spannungen)
