Materialmodelle - FEM-Formelsammlung Statik und Dynamik - page 178

6.2.4 Anisotropes Material
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σ 11
σ 22
σ 33
σ 12
σ 13
σ 23

| C 1111 | C 1122 | C 1133 | C 1112 | C 1113 | C 1123

ε 11
ε 22
ε 33
γ 12
γ 13
γ 23

| C 2222 | C 2233 | C 2212 | C 2213 | C 2223

| C 3333 | C 3312 | C 3313 | C 3323

= (6.12)

| C 1212 | C 1213 | C 1223

sym.

| C 1313 | C 1323

| C 2323

Es existieren 21 unabhangige elastische Materialparameter | C ijkl = | C jikl = | C ijlk = | C klij .

6.2.5 Volumetrische und isochore Anteile bei isotroper Elastizitat
Potential (Formanderungsenergiedichte):
Ψ= 1

lin = 1 lin : | C : ε lin T ) − 1

2 ε

ε

2 ( F + F

mit (6.13)

Additiver Split in volumetrischen und isochoren Anteil:
Ψ= U + W = 1

2 κ I 2

− 2 μ II dev (6.14)

ε

ε

lin

lin

E
3(1 − 2 ν ) : Kompressionsmodul (volumetrischer Anteil)

κ =

E
2(1+ ν ) :

μ = Schubmodul (isochorer Anteil)

Deviatorische Verzerrungen (es gilt: tr(dev ε

lin )=0):

1
3 tr( ε

lin = ε lin lin ) 1

dev ε − (6.15)

Erste Invariante:

lin = F 11 + F 22 + F 33 − 3= F aa − 3

I

lin =tr ε

(6.16)

ε

Zweite Invariante:

2 tr 2 (dev

lin ) 2 ) =

lin = 1

1
2 tr((dev ε

lin ) lin ) 2 )

II dev ε − tr((dev ε −

ε

(6.17)

= ... = 1

2 F aa + 1

1
2 F ab F ab −

1
2 F ab F ba

6 F aa F bb −

Spannungen:

∂ Ψ
∂ ε

lin = κ I lin

σ iso

σ =

lin = | C : ε

1
σ vol

+2 μ d e v ε (6.18)

ε

lin

p = −κ I

lin :

Hydrostatischer Druck

ε

: Deviatorische Spannungen
Materialtensor:

σ iso =dev σ

+2 μ

3 ( 1 ⊗ 1 )

∂ 2 Ψ

1

| C =

lin = κ ( 1 ⊗ 1 )

I − (6.19)

| C vol

∂ ε

lin ∂

ε

| C iso

I : Symmetrischer Einheitstensor 4. Stufe mit I abcd = 2 ( δ ac δ bd + δ ad δ bc )