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Analytische Balkenlosung nach Timoshenko
Unterschiede zum Bernoulli-Ansatz:
ϕ
(
x
)=
M
(
x
)
EI
(
x
)
(5.10)
w
(
x
)=
ψ
(
x
)
−
ϕ
(
x
) mit
ϕ
(
x
)=
ϕ
(
x
)
dx
+
c
3
und
ψ
(
x
)=
Q
(
x
)
(5.11)
κGA
ϕ
: Verdrehung
ψ
: Scherung
G
: Schubmodul
A
: Querschnittsflache
κ
:
Timoshenko-Schubfaktor
(nichttriviale Bestimmung, Literaturwerte variieren,
z.B.
κ
=
6
oder 0,85 fur Rechteckquerschnitt), allg. Ansatz:
A
τdA
=
κGAψ
Grenzfall:
κGAl
2
EI
→∞
liefert Bernoulli-Losung
w
(
x
)=
−ϕ
(
x
)
Beispiele (Hohe
h
=
l/
10,
ν
= 0,3 bzw.
G
=
E/
2,6 und
κ
=5
/
6):
q
0
2
2
6
+
lx − x
2
l
2
2
+
lx −
x
2
q
0
l
2
M
(
x
)=
M
0
F
0
(
−l
+
x
)
−
−
EI
2
EI
6
2
EI
3
lx
+
x
2
l
2
x
2
+
l
x
2
x
3
l
2
x
6
+
l
x
2
x
3
M
0
EI
x
F
0
q
0
q
0
ϕ
(
x
)=
−
−
−
−
−
2
2
κGA
2
− x
q
0
κGA
(
l − x
)
q
0
F
0
κGA
ψ
(
x
)= 0
EI
l
x
2
6
+
EI
l
2
x
2
24
+
12
EI
l
2
x
2
2
+
M
0
EI
x
2
2
F
0
x
3
q
0
l
x
3
6
+
x
4
q
0
−lx
3
+
x
4
w
(
x
)=
−
−
−
2
4
2
κGA
lx
2
κGA
l
2
−
2
x
2
x
2
+
F
0
x
κGA
+
q
0
+
q
0
−
3
EI
1+
3
EI
κGAl
2
8
EI
1+
4
EI
κGAl
2
384
EI
1+
48
EI
κGAl
2
q
0
l
4
q
0
l
4
M
0
l
2
2
EI
F
0
l
3
w
max
=
−
=1
,
0104
q
0
l
4
8
EI
q
0
l
4
384
EI
=1
,
0078
F
0
l
3
3
EI
=1
,
1248
