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5.2.2 B-bar-Elemente
Andere Bezeichnung:
Selektiv reduziert integrierte Elemente
, siehe Nagtegaal, Parks und
Rice (1977):
•
Statt der aktuellen Volumenanderung
J
=det
F
an den Gaußpunkten verwendet
man eine uber das Element gemittelte Volumenanderung:
1
V
el
J
=
JdV
el
(5.1)
V
el
Folglich ist eine reduzierte Integration fur den volumetrischen Anteil hinreichend.
•
Analog zum modifizierten Deformationsgradienten
J
J
1
n
F
=
F
(5.2)
mit dem Dimensionsparameter
n
=2fur 2D- und
n
=3fur 3D
-E
lemente wird auch
die
B
-Matrix (Ableitungen der Ansatzfunktionen) durch eine
B
-Matrix ersetzt, die
fur diese Elementtechnologie namensgebend ist.
Vorteil
:
Verringerung von Schublocking
gegenuber linearen, voll integrierten Elementen
Nachteil
: Gauß-Integration fur deviatorischen Anteil: langsamer als reduzierte Integration
5.2.3 Gemischte/hybride Elemente
Bei gemischten Elementen (andere Bezeichnungsweise: hybride Elemente) fuhrt man ne-
ben den Verschiebungen noch mindestens eine weitere Große als Unbekannte (Kopplung
ubers Stoffgesetz) ein, deren Ansatz von einer Ordnung niedriger gewahlt wird. Beispiele:
•
Q1P0-Element: linearer Ansatz fur die Verschiebungen, konstanter Druck
•
Q2P1-Element: quadratischer Verschiebungsansatz, linear veranderlicher Druck
Es existieren eine Reihe
verschiedener Ansatze
:
•
Basierend auf Zweifeld-Funktional: Verschiebungen und
Druck
als Unbekannte.
•
Basierend auf Dreifeld-Funktional (bekannt als Hu-Washizu-Variationsprinzip): Ver-
schiebungen
u
, Druck
p
und
Volumenanderung
J
als Unbekannte.
•
Mit Elimination der zusatzlichen Freiheitsgrade auf Elementebene: Große des Glei-
chungssystems wie beim Verschiebungsansatz.
•
Ohne Elimination der zusatzlich eingefuhrten Freiheitsgrade: z.B. 4 (
u
und
p
bei
Q1P0-Hexaeder) statt 3 Unbekannte pro Knoten.
Volle Integration oder reduzierte Integration.
Vorteil
:
Verringerung/Vermeidung von volumetrischem Locking
bei
inkompressiblem Material
.
Nachteile
:Großerer numerischer Aufwand; bei regelmaßigen Netzen
Gefahr von
Checkerboarding
: oszillierender hydrostatischer Druck.
Achtung: Schachbrettmuster bleibt oft unentdeckt infolge der Mit-
telung von Knoten-Spannungen.
•
