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5.2 Formulierungen
5.2.1 Verschiebungselemente
Merkmale
(Herleitung fur Hexaederelemente siehe Abschnitt 2.2.4):
•
Verschiebungen (und Rotationen) sind die alleinigen Freiheitsgrade.
•
Gauß-Integration
(volle Integration):
Mit
n
Gaußpunkten ist ein Polynom der Ordnung (2
n
−
1) exakt integrierbar.
Lasst sich auch fur Flachen- und Volumenintegrale anwenden, z.B. 3
×
3
×
3Inte-
grationspunkte bei Polynom 4. Ordnung (quadratischer Verschiebungsansatz).
Vorteile
:
•
Einfache Herleitung, geringer Implementationsaufwand
•
(Nahezu)
exakte Integration
(vernachlassigbarer Fehler bei z.B. Plastizitat).
•
Bei quadratischen Elementen: Kein Schublocking (bei Biegung ist ein Element uber
die Hohe hinreichend), anwendbar fur Spannungsanalysen.
•
Lassen sich
degenerieren
(wie alle isoparametrischen Elemente).
-
Durch die Verwendung von Knoten mit gleichen Koordinaten lasst sich z.B.
aus einem 8-Knoten-Hexaederelement ein 7-Knoten-Element erzeugen.
-
Vorgehen nicht grundsatzlich empfohlen: Anstelle eines zu einem Keil degene-
rierten Hexaeders (von 8 Knoten sind 2 mal 2 gleich) sollte lieber ein richtiges
Keilelement (ezienter bei gleicher Losung) verwendet werden.
-
Geeignet fur bruchmechanische Analyse (J-Integral, Energiefreisetzungsrate)
Nachteile
:
•
Hoher
Aufwand
durch volle Integration, besonders bei expliziten Analysen.
•
Schublocking bei linearen Elementen
: Scherung an den Gaußpunkten bei Biegung.
•
Volumetrisches Locking
bei
(nahezu) inkompressiblem Material
(
ν →
0,5).
-
Inkompressible Materialien: Elastomere sowie Metalle im plastischen Bereich
(plastische Querkontraktionszahl
0,5)
-
Gedankenexperiment: Bei einem unendlich feinen 3D-Hexaedernetz kommen
im Mittel (pro Element) auf 3 FHG 8 Zwangsbedingungen (8 Gaußpunkte)
•
Einige FE-Programme bieten deshalb keine linearen Verschiebungselemente an.
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