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4.2 Nichtlineare Dynamik
Bewegungsgleichung eines gedampften nichtlinearen Systems
:
R
=
Mu
+
I
−
P
=
0
(4.56)
R
: Residuum-Vektor
M
: Massenmatrix (Annahme: zeitlich konstant)
u
:
Beschleunigungsvektor
I
:
Vektor der inneren Lasten (Beitrage der Spannungen, Annahme:
I
=
I
(
u
,
u
))
P
:
Vektor der außeren Lasten (Annahme:
P
=
P
(
u
,
u
))
4.2.1 Implizite Zeitintegration mittels Newmark-Verfahren
Das von Newmark (1959) entwickelte implizite Zeitintegrationsverfahren basiert auf einer
Taylorreihenentwicklung
der Verschiebungen
u
n
+1
=
u
n
+Δ
t
u
n
+Δ
t
2
2
−
β
u
n
+
β
u
n
+1
(4.57)
und Geschwindigkeiten
u
n
+1
=
u
n
+Δ
t
[(1
−
γ
)
u
n
+
γ
u
n
+1
]
.
(4.58)
Restgliedapproximation mittels Quadraturformel. Nach kurzer Umformung erhalt man
β
Δ
t
(
u
n
+1
−
u
n
)+
1
−
u
n
+Δ
t
1
−
u
n
γ
γ
β
γ
2
β
u
n
+1
=
(4.59)
als Geschwindigkeit zum Zeitpunkt
t
n
+1
und
β
Δ
t
u
n
+
1
−
u
n
1
β
Δ
t
2
(
u
n
+1
−
u
n
)
−
1
1
2
β
u
n
+1
=
(4.60)
als Beschleunigung zum Zeitpunkt
t
n
+1
.
Die Wahl der
Quadraturparameter
β ∈
]0
,
1] und
γ ∈
]0
,
1] bestimmt Genauigkeit und
numerische Stabilitat des Verfahrens.
Unbedingt stabil
(keine Beschrankung von Δ
t
):
• β
=
4
und
γ
=
2
:
konstante Beschleunigung
(Trapezregel; von 2. Ordnung genau)
u
(
t
)=
u
n
=
u
n
+1
(4.61)
im Zeitintervall
t ∈
[
t
n
,t
n
+1
]
• β
=
6
und
γ
=
2
:
linear veranderliche Beschleunigung
u
(
t
)=
u
n
+
u
n
+1
−
u
n
t
n
+1
− t
n
(
t
−
t
n
)
(4.62)
