Dynamische Analysen - FEM-Formelsammlung Statik und Dynamik - page 111

Setzt man die Beschleunigungen (4.60) beispielsweise in die DGL eines ungedampften
linearen Systems

Mu + Ku = P (4.63)

ein, so erhalt man das lineare Gleichungssystem

K eff u n +1 = R eff (4.64)

mit

1
β Δ t 2 M

K eff = K + (4.65)

als der effektiven Gesamtsteifigkeitsmatrix und
R eff = P + u n

β Δ t + (1 − 2 β ) u n

u n

β Δ t 2 +

M (4.66)

2 β

als dem effektiven Gesamtresiduenvektor.

4.2.2 Implizite Zeitintegration mittels HHT-Verfahren

Von Hilber, Hughes und Taylor (1977) entwickeltes sogenanntes ” α -Verfahren“:
• Erweiterung der Newmark-Methode
• Stabilisierung der Zeitintegration durch numerische Dampfung hoher Frequenzen
• Terme Mu und I − P werden fur verschiedene Zeitpunkte ausgewertet.

• FEM-Programm 1: Modifikation der Bewegungsgleichung (4.56):

Mu | t n +1 +( I − P ) | t n + α = 0 (4.67)

Die zur Berechnung von I und gegebenenfalls auch von P benotigten Verschiebungen

u n + α =(1 − α ) u n + α u n +1 (4.68)

und Geschwindigkeiten

v n + α =(1 − α ) v n + α v n +1 (4.69)

hangen uber den Parameter α [0 , 1] von den Ergebnissen des vorangegangenen Zeit-

punktes t n ab. Andere Schreibweise:

∈

Mu | t n +1 + α ( I − P ) | t n +1 +(1 − α )( I − P ) | t n = 0 (4.70)

Sonderfall α = 1 liefert das Newmark-Verfahren.

• FEM-Programm 2:

Mu | t n +1 +(1+ α )( I − P ) | t n +1 − α ( I − P ) | t n = 0 (4.71)

Empfehlung: β = 4 (1 − α ) 2 und γ = 2 − α mit α ∈ −

2 , 0 , vgl. Abbildung 4.62.
Sonderfall α = 0 liefert das Newmark-Verfahren. Umrechnung:

1

α FEM2 = α FEM1 − 1 (4.72)